Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen auf direktem Weg

Die Funktion wird nun wie folgt aufgestellt:

$x = \lambda x + (1 - \lambda) y$

Einsetzen für $x$ ergibt dann:

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) = 10 (\lambda x + (1 - \lambda) y) - 4 (\lambda x + (1 - \lambda) y)^2$

Es werden nun nach und nach die Klammern auf der rechten Seite aufgelöst und die Variablen zusammengefasst. Die Klammern mit $(1 - \lambda)$ lässt man stehen. Ziel ist es die rechte Seite auf die folgende Form zu bringen um den Vergleich anstellen zu können, ob die obige Funktion größer oder kleiner ist als die folgende Funktion:

Für die obige Funktion bedeutet dies mit $ F(x) = 10x - 4x^2$ und $F(y) = 10y - 4y^2$:

Es wird nun mit der Transformation der rechten Seite auf die obige Form begonnen. ACHTUNG: Der letzte Klammerausdruck stellt eine binomische Formel dar:

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) = 10 (\lambda x + (1 - \lambda) y) - 4 (\lambda x + (1 - \lambda) y)^2$

Auflösen der Klammern, wobei $(1 - \lambda)$ stehen bleibt:

$= 10 \cdot \lambda \cdot x + 10 \cdot  (1 - \lambda) \cdot y - 4 \cdot (\lambda^2 \cdot x^2 + 2 \cdot \lambda x \cdot (1 - \lambda) \cdot y + (1 - \lambda)^2 \cdot y^2)$

$= 10 \cdot \lambda \cdot x + 10 \cdot  (1 - \lambda) \cdot y - 4 \cdot \lambda^2 \cdot x^2 - 8 \cdot \lambda x \cdot (1 - \lambda) \cdot y - 4 (1 - \lambda)^2 \cdot y^2$

$\lambda$ und $(\lambda - 1)$ zunächst so ausklammern, dass die obige Form gegeben ist: 

$= \lambda( 10 \cdot x - 4x^2) + (1 - \lambda) (10 \cdot y - 4 \cdot y^2) + ... $

Danach muss geschaut werden, welche Summanden wegfallen und welche teilweise bzw. vollständig mit berücksichtigt werden müssen:

Der erste und zweite Summand fallen dann vollständig weg:

(1) $10 \cdot \lambda \cdot x$

(2) $10 \cdot  (1 - \lambda) \cdot y$

Der dritte Summand

(3) $-4 \cdot \lambda^2 \cdot x^2$

geht zum Teil ein:

(3*) $\lambda \cdot -4 \cdot x^2$

es verbleibt demnach noch ein Rest, welcher berücksichtigt werden muss.

Es wird der gesamte vorherige Summand (3) verwendet und der eingehende Summand (3*) davon abgezogen:

 $- 4 \cdot \lambda^2 \cdot x^2 - \lambda \cdot -4 \cdot x^2$

 $- 4 \cdot \lambda^2 \cdot x^2 + \lambda \cdot 4 \cdot x^2$

Zusammenfassen:

Der vierte Summand bleibt bestehen:

Der fünfte Summand 

(5) $-4 (1 - \lambda)^2 \cdot y^2$

geht wieder zum Teil ein:

(5*) $(1 - \lambda) \cdot -4y^2$

Es muss demnach berücksichtigt werden:

$-4 (1 - \lambda)^2 \cdot y^2 - (1 - \lambda) \cdot -4y^2$

$-4 \cdot y^2 + 8 \lambda \cdot y^2 - 4 \lambda^2 \cdot y^2 + 4 \cdot y^2 - 4 \lambda \cdot y^2$

$ 4 \lambda \cdot y^2 - 4 \lambda^2 \cdot y^2$

Zusammenfassen:

Es ergibt sich demnach insgesamt (Berücksichtigung der Summand in den Boxen):

$\small{= \lambda( 10 \cdot x - 4x^2) + (1 - \lambda) (10 \cdot y - 4 \cdot y^2) - 4 \lambda x^2 (\lambda - 1) - 8 \cdot \lambda x \cdot (1 - \lambda) \cdot y + $4 \lambda \cdot y^2 (1 - \lambda)$}$

Es wird nun eingesetzt $F(x) = 10 \cdot x - 4x^2$ und $F(y) = 10 \cdot y - 4 \cdot y^2$:

$= \lambda \cdot F(x) + (1 - \lambda) \cdot F(y) - 4 \lambda x^2 (\lambda - 1) - 8 \cdot \lambda x \cdot (1 - \lambda) \cdot y + 4 \lambda \cdot y^2 (1 - \lambda)$

Den 3. Summanden mit (-1) multiplizieren:

$= \lambda \cdot F(x) + (1 - \lambda) \cdot F(y) + 4 \lambda x^2 (1 - \lambda) - 8 \cdot \lambda x \cdot (1 - \lambda) \cdot y + 4 \lambda \cdot y^2 (1 - \lambda)$

Die letzten drei Summanden zusammenfassen:

$= \lambda \cdot F(x) + (1 - \lambda) \cdot F(y) + 4 \lambda (1 - \lambda) ( x^2 - 2 x \; y + y^2)$

$= \lambda \cdot F(x) + (1 - \lambda) \cdot F(y) + 4 \lambda (1 - \lambda) (x - y)^2$

Es gilt also:

Es wird nun geschaut ob die obige Funktion $F(\lambda x + (1 - \lambda) y)$ größer oder kleiner $\lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$ ist:

$ \lambda \cdot F(x) + (1 - \lambda) \cdot F(y) + 4 \lambda (1 - \lambda) (x - y)^2 \ge \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$

Die linke Seite ist größer als die rechte Seite. Grund dafür ist der letzte Term der linken Seite. Dieser wird in jedem Fall positiv, da $0 < \lambda < 1$. Der Ausdruck $(x - y)^2$ wird immer positiv. 

Es liegt eine streng konkave Funktion vor.