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Physik

Beispiel: Bahnbeschleunigung

Beispiel

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Gegeben sei die Bahnkurve $r(t) = (3t^2, 2t^3, 5t)$. Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung zu den Zeitpunkten $t=2$ und $t=3$? Wie groß ist die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?

Bestimmung des Betrages der Beschleunigung

Zunächst wird der allgemeine Beschleunigungsvektor bestimmt, durch die 2. Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{a} (t) = (6, 12t, 0)$

Um den Betrag der Beschleunigung (skalar) zu bestimmen, muss der Betrag des Beschleunigungsvektors gebildet werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|a| = \sqrt{6^2 + (12t)^2 + 0^2} = \sqrt{36 +144t^2 }$

Es wird nun der Betrag der Beschleunigung für $t=2$ und $t=3$ bestimmt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|a|(t=2) = 24,74$

$|a|(t=3) = 36,50$

Bestimmung der mittleren Bahnbeschleunigung

Es wird als Nächstes die mittlere Bahnbeschleunigung bestimmt. Diese bestimmt sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Mittlere Bahnbeschleunigung: $a_m = \frac{|\triangle v|}{\triangle t}$  

Es muss also zunächst $\triangle v$ bestimmt werden, indem die beiden Geschwindigkeitsvektoren zur Zeit $t=3$ und $t=1$ voneinander subtrahiert werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle v = v(t=3) - v(t=1) $

Der allgemeine Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch die 1. Ableitung der Bahnkurve:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} (t) = (6t, 6t^2, 5)$

Einsetzen der Zeiten und Subtraktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle v = (18, 54, 5) - (6, 6, 5) = (12, 48, 0)$

Als nächstes wird dann die Länge bestimmt, um einen Skalar zu erhalten:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle v| = \sqrt{12^2 + 48^2 + 0^2} = 49,48$

Die Zeitdifferenz $\triangle t$ ist:

Methode

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$\triangle t = 3 - 1 = 2$


Die mittlere Bahnbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a_m = \frac{49,48}{2} = 24,74$

Hierbei handelt es sich um die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt bei $t =1$ und dem Punkt bei $t = 3$.