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Beispiel
Gegeben sei die Bahnkurve $r(t) = (3t^2, 2t^3, 5t)$. Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung zu den Zeitpunkten $t=2$ und $t=3$? Wie groß ist die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?
Bestimmung des Betrages der Beschleunigung
Zunächst wird der allgemeine Beschleunigungsvektor bestimmt, durch die 2. Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:
Methode
Um den Betrag der Beschleunigung (skalar) zu bestimmen, muss der Betrag des Beschleunigungsvektors gebildet werden:
Methode
Es wird nun der Betrag der Beschleunigung für $t=2$ und $t=3$ bestimmt:
Methode
$|a|(t=3) = 36,50$
Bestimmung der mittleren Bahnbeschleunigung
Es wird als Nächstes die mittlere Bahnbeschleunigung bestimmt. Diese bestimmt sich durch:
Methode
Es muss also zunächst $\triangle v$ bestimmt werden, indem die beiden Geschwindigkeitsvektoren zur Zeit $t=3$ und $t=1$ voneinander subtrahiert werden:
Methode
Der allgemeine Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch die 1. Ableitung der Bahnkurve:
Methode
Einsetzen der Zeiten und Subtraktion:
Methode
Als nächstes wird dann die Länge bestimmt, um einen Skalar zu erhalten:
Methode
Die Zeitdifferenz $\triangle t$ ist:
Methode
$\triangle t = 3 - 1 = 2$
Die mittlere Bahnbeschleunigung ergibt sich zu:
Methode
Hierbei handelt es sich um die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt bei $t =1$ und dem Punkt bei $t = 3$.
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Beispiel: Bahnbeschleunigung
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