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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Bahnbeschleunigung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Bahnbeschleunigung

Beispiel

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Gegeben sei die Bahnkurve $r(t) = (5t^2, 6t^3, 4t)$. Wie groß ist der Betrag der Beschleunigung zu den Zeitpunkten $t=2$ und $t=3$? Wie groß ist die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen dem Punkt für $t=1$ und für $t=3$?

Bestimmung des Betrages der Beschleunigung

Zunächst wird der allgemeine Beschleunigungsvektor bestimmt, durch die 2. Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit $t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{a} (t) = (10, 36t, 0)$

Um den Betrag der Beschleunigung (skalar) zu bestimmen, muss der Betrag des Beschleunigungsvektors gebildet werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|a| = \sqrt{10^2 + (36t)^2 + 0^2} = \sqrt{100 + 1296t^2 }$

Es wird nun der Betrag der Beschleunigung für $t=2$ und $t=3$ bestimmt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|a|(t=2) = 72,69$

$|a|(t=3) = 108,46$

Bestimmung der mittleren Bahnbeschleunigung

Es wird als Nächstes die mittlere Bahnbeschleunigung bestimmt. Diese bestimmt sich durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Mittlere Bahnbeschleunigung: $a_m = \frac{|\triangle v|}{\triangle t}$  

Es muss also zunächst $\triangle v$ bestimmt werden, indem die beiden Geschwindigkeitsvektoren zur Zeit $t=3$ und $t=1$ voneinander subtrahiert werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle v = v(t=3) - v(t=1) $

Der allgemeine Geschwindigkeitsvektor ergibt sich durch die 1. Ableitung der Bahnkurve:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v} (t) = (10t, 18t^2, 4)$

Einsetzen der Zeiten und Subtraktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\triangle v = (30, 162, 4) - (10, 18, 4) = (20, 144, 0)$

Es muss nun noch der Betrag gebildet werden (um einen Skalar zu erhalten):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $|\triangle v| = \sqrt{20^2 + 144^2 + 0^2} = 145,38$

Die mittlere Bahnbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a_m = \frac{145,38}{2} = 72,69$