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Physik

Bahnbeschleunigung

In diesem Abschnitt soll aufgezeigt werden, wie die Bahnbeschleunigung berechnet werden kann.

Betrag der Bahnbeschleunigung

Der Betrag der Bahnbeschleuigung kann bestimmt werden, indem die Länge des Beschleunigungsvektors berechnet wird:

Methode

Betrag der Bahnbeschleunigung: $|a_t| = |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$     

Bahnbeschleunigung/Tangentialbeschleunigung

Die Bahnbeschleunigung lässt sich bestimmen durch die 1. Ableitung der Bahngeschwindigkeit $v$ oder durch die 2. Ableitung der Bogenlänge $s$ nach der Zeit $t$:

Methode

Bahnbeschleunigung: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt}$                 

Die Beschleunigung wird z.B. in den Einheiten $\frac{m}{s^2}$ oder $\frac{cm}{s^2}$ angegeben.

Merke

Die Bahnbeschleunigung $a_t$ ist positiv, wenn $\triangle v > 0$ (Geschwindigkeit wächst mit der Zeit) und negativ, wenn $\triangle v < 0$ (Geschwindigkeit wird mit der Zeit langsamer). Letzteres nennt sich auch verzögerte Bewegung, d.h. der Betrag der Geschwindigkeit $|v|$ nimmt mit der Zeit ab.

Normalbeschleunigung

Neben der Bahnbeschleunigung (auch: Tangentialbeschleunigung) $a_t$ gibt es noch die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung) $a_n$. 

Die betrachtete Bahnkurve kann im Punkt $P$ lokal durch einen Kreis (Krümmungskreis) angenähert werden. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Krümmungsmittelpunkt. Die Tangentialbeschleunigung liegt (wie der Name bereits sagt) tangential zur Bahnkurve, die Normalbeschleunigung zeigt auf den lokalen Krümmungsmittelpunkt $M$ der Bahnkurve. 

Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung


Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:

Methode

 Normalbeschleunigung: $a_n = \frac{v^2}{\rho}$  

mit

$v$  Geschwindigkeit

$\rho$  Krümmungsradius (Abstand vom betrachteten Punkt zum Krümmungsmittelpunkt)


Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit. Die Tangentialbeschleunigung bezeichnet die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, die ein Massepunkt auf einer gekrümmten Bahn tangential zu dieser erfährt. 

Merke

Ist die Tangentialbeschleunigung $a_t$ Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei konstant $v = const$. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Mittlere Bahnbeschleunigung

Die mittlere Bahnbeschleunigung zwischen zwei festgelegten Punkten bestimmt sich aus dem Quotienten zwischen der Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ und der Zeitdifferenz $\triangle t$ zwischen diesen Punkten:

Methode

Mittlere Bahnbeschleunigung: $a_m = \frac{|\triangle v|}{\triangle t}$        

Die Geschwindigkeitsdifferenz $\triangle v$ zwischen zwei festgelegten Punkten A und B lässt sich berechnen, indem der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_A}$ vom Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_B}$ subtrahiert wird. Es wird dann der Betrag der Geschwindigkeitsänderung gebildet (also die Länge berechnetz). Für $\triangle t$ wird dann die Zeitdifferenz zwischen diesen beiden Punkten angegeben.

Resultierende Beschleunigung

Die resultierende Beschleunigung kann mittels Satz des Pythagoras berechnet werden zu:

Methode

$a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2}$