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Physik - Beschleunigungsvektor

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Physik

Beschleunigungsvektor

Bei der Beschleunigung handelt es sich um die Änderung des Bewegungszustandes eines Massenpunktes auf der Bahnkurve. Umgangssprachlich bezeichnet man Beschleunigung als die Steigerung der Geschwindigkeit. Tatsächlich bedeutet Beschleunigung sowohl eine Zunahme als auch eine Abnahme der Geschwindigkeit. Jede Geschwindigkeitsänderung wird also als Beschleunigung verstanden.

Merke

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Die Änderung des Bewegungszustandes bedeutet, dass der Massenpunkt seine Geschwindigkeit ändert. Eine Geschwindigkeitsänderung wiederum bedeutet, dass der Massenpunkt eine Beschleunigung erfährt.

Fährt ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit, so erfährt dieses keine Beschleunigung. Wird hingegen stärker aufs Gaspedal gedrückt, so beschleunigt das Auto und die Geschwindigkeit ändert sich -> das Auto wird schneller.

Fahrendes Auto
Fahrendes Auto

Beschleunigungsvektor

Die Berechnung des Beschleunigungsvektors $\vec{a}$ erfolgt aus der Ableitung des Geschwindigkeitsvektors $\vec{v}$:

Methode

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$\vec{a} = \dot{\vec{v}} =\left(\begin{array}{c} \dot{v_x}(t) \\ \dot{v_y}(t) \\ \dot{v_z}(t) \end{array}\right)$

Da die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors auf den Beschleunigungsvektor führt und der Geschwindigkeitsvektor aus der Bahnkurve $r(t)$ bestimmt wird, kann man den Beschleunigungsvektor auch durch zweimaliges Ableiten der Bahnkurve bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{a} = \ddot{\vec{r}(t)} = \left(\begin{array}{c} \ddot{x}(t) \\ \ddot{y}(t) \\ \ddot{z}(t) \end{array}\right)$

Es muss beachtet werden, dass die 1. Ableitung der Bahnkurve $\vec{r}(t)$ auf einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für diese Bahnkurve führt:

$\vec{v}(t) = \left(\begin{array}{c} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{array}\right)$

Will man den Geschwindigkeitsvektor in einem bestimmten Punkt ermitteln, so muss dann noch die Zeit $t$ in den Geschwindigkeitsvektor eingesetzt werden.

Genau so verhält es sich auch mit dem Beschleunigungsvektor. Die 2. Ableitung der Bahnkurve führt zu einem allgemeinen Beschleunigungsvektor:

$\vec{a}(t) = \left(\begin{array}{c} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \end{array}\right)$

Den Beschleunigungsvektor für einen bestimmten Punkt erhält man dann durch Einsetzen der Zeit $t$. Ist bei der 1. Ableitung der Bahnkurve keine Abhängigkeit von $t$ mehr gegeben, dann liegt ein konstanter Geschwindigkeitsvektor vor. Der Beschleunigungsvektor ist dann null und die Bewegung eines Punktes auf der Bahnkurve ist gleichförmig $\rightarrow $ die Bahngeschwindigkeit ist konstant.

Merke

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Der Beschleunigungsvektor ist für die im späteren Kapitel behandelte Kinetik von Bedeutung, da dann der Kraftvektor und der Beschleunigungsvektor miteinander verknüpft werden. 

Anwendungsbeispiel: Beschleunigungsvektor

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die folgende Bahnkurve $\vec{r}(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie sieht der Beschleunigungsvektor aus? 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}(t)} = (4t, 5, 0)$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}(t)} = (4, 0, 0)$.

Der Beschleunigungsvektor ist nicht abhängig von der Zeit, d.h. es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Der Beschleunigungsvektor ist demnach für jeden Punkt auf der Bahnkurve gleich.