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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beschleunigungsvektor

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beschleunigungsvektor

Merke

Die Beschleunigung ist die Änderung des Bewegungszustandes eines Punktes auf der Bahnkurve.

Umgangssprachlich wird als Beschleunigung die Steigerung der Geschwindigkeit verstanden. Bei einer Beschleunigung von $1 m/s^2$ verändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um $1 m/s$.
Die Beschleunigung ist aber tatsächlich nicht nur eine Zunahme der Geschwindigkeit, sondern jede Änderung der Bewegung, also auch die Abnahme der Geschwindigkeit.

Die Berechnung des Beschleunigungsvektors $\vec{a}$ erfolgt aus der Ableitung des Geschwindigkeitsvektors $\vec{v}$.

Merke

Der Beschleunigungsvektor ist für die im späteren Kapitel behandelte Kinetik von Bedeutung, da dann der Kraftvektor und der Beschleunigungsvektor miteinander verknüpft werden. 

Da die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors auf den Beschleunigungsvektor führt und der Geschwindigkeitsvektor aus der Bahnkurve $r(t)$ bestimmt wird, kann man den Beschleunigungsvektor auch durch zweimaliges Ableiten der Bahnkurve bestimmen:

Methode

 Beschleunigungsvektor: $\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{r(t)}$.    

Es muss beachtet werden, dass die 1. Ableitung der Bahnkurve $r(t)$ auf einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für diese Bahnkurve führt. Will man den Geschwindigkeitsvektor in einem bestimmten Punkt ermitteln, so muss dann noch die Zeit $t$ in den Geschwindigkeitsvektor eingesetzt werden. Genau so verhält es sich auch mit dem Beschleunigungsvektor.
Die 2. Ableitung der Bahnkurve führt zu einem allgemeinen Beschleunigungsvektor. Den Beschleunigungsvektor für einen bestimmten Punkt erhält man dann durch Einsetzen der Zeit $t$. Ist bei der 1. Ableitung der Bahnkurve keine Abhängigkeit von $t$ mehr gegeben, dann liegt ein konstanter Geschwindigkeitsvektor vor. Der Beschleunigungsvektor ist dann null und die Bewegung eines Punktes auf der Bahnkurve ist gleichförmig $\rightarrow $ die Bahngeschwindigkeit ist konstant.

Anwendungsbeispiel: Beschleunigungsvektor

Beispiel

Gegeben sei die folgende Bahnkurve $r(t) = (2t^2, 5t, 0t)$. Wie sieht der Beschleunigungsvektor aus? 

Methode

$a(t) = \ddot{r(t)} = (4, 0, 0)$.

Der Beschleunigungsvektor ist nicht abhängig von der Zeit, d.h. es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.