Geschwindigkeitsvektor

Ein Auto, welches an einer Straße parkt, besitzt keine Geschwindigkeit und ändert damit auch nicht seinen Aufenthaltsort.

Parkendes Auto

Ein mit konstanter Geschwindigkeit fahrendes Auto hingegen ändert mit der Zeit $t$ seinen Aufenthaltsort.

Geschwindigkeitsvektor

Um den Geschwindigkeitsvektor bestimmen zu können, wird die Änderung des Ortsvektors herangezogen und der Grenzwert gebildet:

$\vec{v}(t) = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \triangle t) - \vec{r}(t)}{\triangle t} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle \vec{r}}{\triangle t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}(t)}$.

Der Grenzwert der Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$ führt zur Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$.  Als Ergebnis resultiert der Geschwindigkeitsvektor

$\vec{v}(t) =\left(\begin{array}{c} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{array}\right)$

Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt, also für eine bestimmte Zeit $t$. Dabei sind Richtungssinn des Geschwindigkeitsvektors und Durchlaufsinn der Bahnkurve identisch. Der Punkt über dem $\vec{r}(t)$ bedeutet, dass der Ortsvektor des Massenpunktes $P$ nach der Zeit $t$ abgeleitet werden muss, um den Geschwindigkeitsvektor zu erhalten.

Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor

Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors:

$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4t, 1)$

Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach die Zeit $t$ ein, welche für den betrachteten Punkt gilt.

Es wird nun der Geschwindigkeitsvektor herangezogen und $t =3$ eingesetzt:

$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4 \cdot 3, 1) = (3, 12, 1)$

Der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t =3$ beträgt $(3, 12, 1)$. 

Hierbei handelt es sich um einen Ortsvektor, welcher im Ursprung beginnt und auf den Punkt $(3,12,1)$ zeigt. Die Richtung des Vektors ist damit also gegeben. 

Setzt man die Zeit $t = 3$ in den allgemeinen Ortsvektor ein, so weiß man auch, in welchem Punkt der Geschwindigkeitsvektor die Bahnkurve tangiert.

$\vec{r}(t = 3) = (3 \cdot 3, 2 \cdot 3^2, 3) = (9, 18,3)$

Der Geschwindigkeitsvektor tangiert die Bahnkurve im Punkt $(9, 18,3)$. Das bedeutet, dass der Geschwindigkeitsvektor in den Punkt $(9, 18,3)$ verschoben werden muss. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors muss dabei beibehalten werden.