Inhaltsverzeichnis
Merke
Ein Auto, welches an einer Straße parkt, besitzt keine Geschwindigkeit und ändert damit auch nicht seinen Aufenthaltsort.
Ein mit konstanter Geschwindigkeit fahrendes Auto hingegen ändert mit der Zeit $t$ seinen Aufenthaltsort.
Geschwindigkeitsvektor
Um den Geschwindigkeitsvektor bestimmen zu können, wird die Änderung des Ortsvektors herangezogen und der Grenzwert gebildet:
$\vec{v}(t) = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \triangle t) - \vec{r}(t)}{\triangle t} = \lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle \vec{r}}{\triangle t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}(t)}$.
Methode
Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}(t)} = \left(\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z}(t) \end{array}\right)$
Der Grenzwert der Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$ führt zur Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit $t$. Als Ergebnis resultiert der Geschwindigkeitsvektor
$\vec{v}(t) =\left(\begin{array}{c} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{array}\right)$
Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt, also für eine bestimmte Zeit $t$. Dabei sind Richtungssinn des Geschwindigkeitsvektors und Durchlaufsinn der Bahnkurve identisch. Der Punkt über dem $\vec{r}(t)$ bedeutet, dass der Ortsvektor des Massenpunktes $P$ nach der Zeit $t$ abgeleitet werden muss, um den Geschwindigkeitsvektor zu erhalten.
Merke
Die Ableitung von Vektoren erfolgt durch die Ableitung der einzelnen Koordinaten.
Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor
Beispiel
Gegeben sei der Ortsvektor $\vec{r}(t) = (3t, 2t^2, t)$. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor!
Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors:
$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4t, 1)$
Man erhält zunächst einen allgemeinen Geschwindigkeitsvektor für die betrachtete Bahnkurve. Will man nun für einen bestimmten Punkt den Geschwindigkeitsvektor angeben, so setzt man einfach die Zeit $t$ ein, welche für den betrachteten Punkt gilt.
Beispiel
Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t = 3$?
Es wird nun der Geschwindigkeitsvektor herangezogen und $t =3$ eingesetzt:
$\vec{v} = \dot{\vec{r}(t)} = (3, 4 \cdot 3, 1) = (3, 12, 1)$
Der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t =3$ beträgt $(3, 12, 1)$.
Hierbei handelt es sich um einen Ortsvektor, welcher im Ursprung beginnt und auf den Punkt $(3,12,1)$ zeigt. Die Richtung des Vektors ist damit also gegeben.
Setzt man die Zeit $t = 3$ in den allgemeinen Ortsvektor ein, so weiß man auch, in welchem Punkt der Geschwindigkeitsvektor die Bahnkurve tangiert.
$\vec{r}(t = 3) = (3 \cdot 3, 2 \cdot 3^2, 3) = (9, 18,3)$
Der Geschwindigkeitsvektor tangiert die Bahnkurve im Punkt $(9, 18,3)$. Das bedeutet, dass der Geschwindigkeitsvektor in den Punkt $(9, 18,3)$ verschoben werden muss. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors muss dabei beibehalten werden.
Merke
Wichtig: Der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit $t$ gilt für den Punkt auf der Bahnkurve zur Zeit $t$.
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