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Physik - Beispiel: Freier Fall

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Physik

Beispiel: Freier Fall

Der freie Fall stellt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung dar. Dabei besitzt ein frei fallender Körper, welcher sich in Erdnähe befindet, eine gleichmäßige Beschleunigung. Der Luftwiderstand wird hierbei als vernachlässigbar klein angesehen. Diese gleichmäßige Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung $ g = 9,81 m/s^2$. 

Beispiel

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Es wird aus einem Heißluftballon in 200m Höhe ein Tennisball fallen gelassen.

Tennisball aus Heißluftballon
Tennisball aus Heißluftballon

Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Wie groß ist

(a) die Fallgeschwindigkeit $v_i$ nach 1,2 und 3 Sekunden?,

(b) der Fallweg $x$ nach 1,2, und 3 Sekunden?,

(c) die Endgeschwindigkeit $v$

(d) und die Falldauer $t$?

Es soll zusätzlich eine grafische Veranschaulichung der Ergebnisse aufgeführt werden!

Zunächst einmal muss man sich vor Augen halten, dass es sich hierbei wieder im eine geradlinige Bewegung handelt. Der Ball fällt senkrecht von oben nach unten. Die $x$-Achse ist demnach nun senkrecht anzusehen. Der Tennisball hat (bevor er fallen gelassen wird) eine Geschwindigkeit von $v_0 = 0$ und die Zeitmessung beginnt auch erst ab dem Fall, also bei $t_0 = 0$. Der Ort ist $x_0 = 0 m$, weil in 200 m Höhe mit der Messung des Weges begonnen wird. Man muss sich nun vor Augen halten, dass der Ball von oben nach unten fällt.

Gleichförmig beschleunigte Bewegung (freier Fall)

Die Fallbeschleunigung ist -wie bereits oben erwähnt - bei einem freien Fall die Erdbeschleunigung $g = 9,81 m/s^2$. Die Fallrichtung ist nach unten gerichtet, also in Richtung der positiven $x$-Achse.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a_0 = g = 9,81 m/s^2$.
(a) Geschwindigkeiten

Man kann nun die Geschwindigkeit bestimmen durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$

$v = 0 + g \cdot (t - 0) = 9,81 m/s^2 \cdot t$.

Die Geschwindigkeiten für die einzelnen Zeitpunkte ergeben sich zu:

t [s]123
v9,81 m/s19,62 m/s29,43 m/s

Man sieht also deutlich, dass die Beschleunigung bei gleicher Zeitdifferenz $\triangle t = 1 s$ auch gleichmäßig zunimmt $\triangle v = 9,81 m/s$. 

(b) Ort

Als Nächstes soll der Ort $x$ für die unterschiedlichen Zeitpunkte bestimmt werden. Der Ort $x$ ergibt sich, indem die Geschwindigkeit nach der Zeit $t$ integriert wird:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^{x} = \int_{t_0}^t v dt$

Einsetzen von $v = 9,81 m/s^2 \cdot t$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^{x} = \int_{t_0}^t 9,81 m/s^2 \cdot t dt$.

$x - x_0 = 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} [t^2]_{t_0}^t$

$x - x_0 = 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} (t - t_0)^2$

$x = x_0 + 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} (t - t_0)^2$

Mit $t_0 = 0$ und $x_0 = 0m$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x = 0 m + 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} t^2$

Die Formel wurde der Übersicht halber nochmal hergeleitet. In diesem Abschnitt ist die Formel bereits oben hergeleitet worden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x  = x_0 + \frac{1}{2} a_0 \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Nach Einsetzen der Werte $t_0 = 0$, $v_0 = 0$, $x_0 = 0 m$ und $a_0 = 9,81 m/s^2$ ergibt sich das Gleiche für $x$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x  = 0 m + \frac{1}{2} \cdot 9,81 m/s^2 \cdot t^2$.

Die Tabelle sieht dann wie folgt aus:

t [s]123
x-4,9 m19,6 m44,1 m

In der Tabelle wird also gezeigt, welchen Weg der Ball nach den unterschiedlichen Zeitpunkten zurückgelegt hat. Begonnen wird bei $x_0 = 0$, welches in 200 m Höhe liegt. Denn hier beginnt der freie Fall.

(c) Endgeschwindigkeit

Die Endgeschwindigkeit berechnet sich mittels der Geschwindigkeit-Ort-Funktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v(s) = \sqrt{(v_0^2 - 2a_0x_0) + (2a_0x)}$.

Es gilt:$v_0 = 0$, $a_0 = 9,81 m/s^2$, [$x_0 = 0 m$ und dann $x = 200m$]

Der Ball fällt einen Weg bei $x_0 = 0m$ beginnend bis er $x = 200 m$ gefallen ist. Der gesamte Weg ist also $x = 200m$.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v(s) = \sqrt{2a_0x)} = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 200 m}$

$v(s) = 62,65 m/s$.

Die Endgeschwindigkeit oder auch Aufprallgeschwindigkeit des Tennisballes beträgt $v = 62,65 m/s$. 

(d) Falldauer

Die Falldauer berechnet sich durch die Formel für die Geschwindigkeit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = 9,81 m/s^2 \cdot t$.

Diese aufgelöst nach der Zeit $t$ ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $t = \frac{v}{9,81 m/s^2}$.

Es muss nun die Endgeschwindigkeit eingesetzt werden $v(s) = 62,65 m/s$:

$t = \frac{-62,65 m/s}{9,81 m/s^2} = 6,4 s$.

Der Ball benötigt 6,4 s bis dieser den Boden erreicht.

Grafische Veranschaulichung

Es werden nacheinander das Beschleunigung-Zeit-Diagramm, das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, das Ort-Zeit-Diagramm und das Geschwindigkeit-Ort-Diagramm aufgezeigt. Die Ordinaten sind alle von oben nach unten gerichtet (Fallrichtung des Balls). Im Nachfolgenden werden die einzelnen Diagramme aufgezeigt (umgedreht).

Beschleunigung-Zeit-Diagramm
Beschleunigung-Zeit-Diagramm

$\\$

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

$\\$

Ort-Zeit-Diagramm
Ort-Zeit-Diagramm

$\\$

Geschwindigkeit-Ort-Diagramm
Geschwindigkeit-Ort-Diagramm

Die Geschwindigkeit ist null, bei $x_0 = 0$, d.h. also kurz bevor der Ball fallen gelassen wird. Mit zunehmendem Weg $x$ steigt die Geschwindigkeit. Die negative Geschwindigkeit gibt an, dass sich der Ball entgegen der positiven $x$-Achse bewegt.