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Physik

Kinematische Diagramme

Bevor mit den kinematischen Grundaufgaben begonnen wird, werden zunächst die kinematischen Diagramme eingeführt. Diese helfen einen Eindruck von der Bewegung eines Punktes auf der Bahn zu erhalten. Es existieren drei kinematische Diagramme, welche hier für uns von Interesse sind:

Ort-Zeit-Diagramm

Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Ortskoordinate $s$ (=Bogenlänge) über die Zeit $t$. Da in diesem Kapitel von einer geradlinigen Bewegung ausgegangen wird, gilt $s = x$.

Ort-Zeit-Diagramm

In der obigen Grafik ist die Ort-Zeit-Kurve $x = \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + 2$ verwendet worden. Das Ort-Zeit-Diagramm zeigt den Ort $x$ des Punktes $P$ zu einer bestimmten Zeit $t$. So ist z.B. nach $t = 1$ Zeiteinheit der Punkt $P$ bei 2,6 Längeneinheiten (z.B. Meter) angekommen. 

Ausgehend von der obigen Grafik können wir uns vorstellen, dass z.B. ein Auto mit zunehmender Geschwindigkeit in Richtung der zunehmenden Ortskoordinate $x$ fährt. Die zunehmende Ortskoordinate bedeutet, dass hier nur eine positive Steigung vorhanden ist und sich das Auto demnach immer weiter weg vom Ursprung entfernt. Bei einer negativen Steigung würde sich das Auto wieder zurück bewegen (z.B. Rückwärts fahren). Die zunehmende Geschwindigkeit erkennt man an der Steigung in einem Punkt, welche mittels Tangentenvektor (rot) gekennzeichnet ist. Die Geschwindigkeit kann anhand der Steigung in diesem Punkt bestimmt werden durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt}$.

Je größer die Steigung, desto höher die Geschwindigkeit. Im ersten Punkt bei $t = 1$ ist die Steigung kleiner als im Punkt bei $t = 9$. Das bedeutet also, dass die Geschwindigkeit im Punkt $P(t = 9)$ größer ist. Bei einer negativen Steigung existiert eine negative Geschwindigkeit. Diese bedeutet einfach, dass sich das Auto sozusagen rückwärts bewegt. 

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt den Verlauf der Geschwindigkeit $v$ über die Zeit $t$. Wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt, kann man die Geschwindigkeit durch Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$ nach der Zeit $t$ bestimmen:

Methode

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$v = \frac{dx}{dt}$

Betrachten wir die obige Ort-Zeit-Kurve, so ergibt sich die Geschwindigkeit zu:

Beispiel

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$v =  \frac{dx}{dt} = $x = \frac{1}{5} t + \frac{1}{2} $

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

In der obigen Grafik ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm aufgezeigt. Den Geschwindigkeitsverlauf über die Zeit $t$ erhält man durch die Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$. Man sieht für jede Zeit $t$ die dazugehörige Geschwindigkeit. Zum Beispiel ist bei $t = 1$ die Geschwindigkeit $v = 0,7 $ Länge/Zeiteinheit. Durch den Anstieg der Funktion wird deutlich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit $t$ ansteigt. 

Auch hier kann wieder die Steigung in den einzelnen Punkten (zu den unterschiedlichen Zeitpunkten) betrachtet werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = \frac{dv}{dt}$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Steigung der Geschwindigkeit-Zeit Kurve zu den unterschiedlichen Zeitpunkten gibt die Beschleunigung an. Je größer die Steigung, desto größer die Beschleunigung. Ist die Beschleunigung konstant, so ist die Steigung in jedem Punkt gleich.

In der obigen Grafik sieht man deutlich, dass sich eine allgemeine Steigung ergibt, die nicht abhängig von $t$ ist. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt der Geschwindigkeit-Zeit Kurve gleich ist und demnach eine konstante Beschleunigung vorliegt.

Beschleunigung-Zeit-Diagramm

Die Beschleunigung ergibt sich bei der expliziten Darstellung durch die 2. Ableitung der Ort-Zeit-Kurve $x$ oder der ersten Ableitung der Geschwindigkeit-Zeit-Kurve $v$:

Methode

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$a = \frac{dx^2}{d^2 t} = \frac{dv}{dt}$


Für die obige Ort-Zeit-Kurve ergibt sich dann:

Beispiel

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$a = \ddot{x} = \dot(v) = \frac{1}{5}$.


Hierbei handelt es sich um eine konstante Beschleunigung, d.h. also, dass die Beschleunigung für jede Zeit $t$ gleich ist:

Beschleunigung-Zeit-Diagramm