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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Freier Fall

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Freier Fall

Der freie Fall stellt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung dar. Dabei besitzt ein frei fallender Körper, welcher sich in Erdnähe befindet, eine gleichmäßige Beschleunigung. Der Luftwiderstand wird hierbei als vernachlässigbar klein angesehen. Diese gleichmäßige Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung $ g = 9,81 m/s^2$. 

Beispiel

Es wird aus einem Heißluftballon in 200m Höhe ein Tennisball fallen gelassen. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Wie groß ist

(a) die Fallgeschwindigkeit $v_i$ nach 1,2 und 3 Sekunden?,

(b) der Fallweg $x$ nach 1,2, und 3 Sekunden?,

(c) die Endgeschwindigkeit $v$

(d) und die Falldauer $t$?

Es soll zusätzlich eine grafische Veranschaulichung der Ergebnisse aufgeführt werden!

Zunächst einmal muss man sich vor Augen halten, dass es sich hierbei wieder im eine geradlinige Bewegung handelt. Der Ball fällt senkrecht von oben nach unten. Die $x$-Achse ist demnach nun senkrecht anzusehen. Der Tennisball hat (bevor er fallen gelassen wird) eine Geschwindigkeit von $v_0 = 0$ und die Zeitmessung beginnt auch erst ab dem Fall, also bei $t_0 = 0$. Der Ort ist $x_0 = 0 m$, weil in 200 m Höhe mit der Messung des Weges begonnen wird. Man muss sich nun vor Augen halten, dass der Ball von oben nach unten fällt.

Gleichförmig beschleunigte Bewegung (freier Fall)

Die Fallbeschleunigung ist -wie bereits oben erwähnt - bei einem freien Fall die Erdbeschleunigung $g = 9,81 m/s^2$. Die Fallrichtung ist nach unten gerichtet, also in Richtung der negativen $x$-Achse.

Methode

$a_0 = -g = -9,81 m/s^2$.

(a) Geschwindigkeiten

Man kann nun die Geschwindigkeit bestimmen durch:

Methode

$v = v_0 + a_0 \cdot (t - t_0)$

$v = 0 + g \cdot (t - 0) = -9,81 m/s^2 \cdot t$.

Die Geschwindigkeiten für die einzelnen Zeitpunkte ergeben sich zu:

t [s] 1 2 3
v -9,81 m/s -19,62 m/s -29,43 m/s

Man sieht also deutlich, dass die Beschleunigung bei gleicher Zeitdifferenz $\triangle t = 1 s$ auch gleichmäßig zunimmt $\triangle v = 9,81 m/s$. 

(b) Ort

Als Nächstes soll der Ort $x$ für die unterschiedlichen Zeitpunkte bestimmt werden. Der Ort $x$ ergibt sich, indem die Geschwindigkeit nach der Zeit $t$ integriert wird:

Methode

$\int_{x_0}^{x} = \int_{t_0}^t v dt$

Einsetzen von $v = -9,81 m/s^2 \cdot t$:

Methode

$\int_{x_0}^{x} = \int_{t_0}^t -9,81 m/s^2 \cdot t dt$.

$x - x_0 = -9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} [t^2]_{0}^t$

$x - x_0 = -9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} t^2$

$x = x_0 - 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} t^2$

Mit $x_0 = 0m$:

Methode

$x = 0 m - 9,81 m/s^2 \cdot \frac{1}{2} t^2$

Die Formel wurde der Übersicht halber nochmal hergeleitet. In dem vorangegangenen Abschnitt ist die Formel bereits hergeleitet worden:

Methode

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a_0 \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Nach Einsetzen der Werte $t_0 = 0$, $v_0 = 0$, $x_0 = 0 m$ und $a_0 = -9,81 m/s^2$ ergibt sich das Gleiche für $x$:

Methode

$x  = 0 m - \frac{1}{2} \cdot 9,81 m/s^2 \cdot t^2$.

Die Tabelle sieht dann wie folgt aus:

t [s] 1 2 3
x -4,9 m -19,6 m -44,1 m

In der Tabelle wird also gezeigt, welchen Weg der Ball nach den unterschiedlichen Zeitpunkten zurückgelegt hat. Begonnen wird bei $x_0 = 0$, welches in 200 m Höhe liegt. Denn hier beginnt der freie Fall. DIe negativen Vorzeichen resultieren aus der Fallrichtung in negative x-Richtung (x-Achse wurde nach oben gerichtet angenommen). Nimmt man hingegen die x-Achse nach unten gerichtet an, so würden positive Werte resultieren.

(c) Endgeschwindigkeit

Die Endgeschwindigkeit berechnet sich mittels der Geschwindigkeit-Ort-Funktion:

Methode

$v(s) = \sqrt{(v_0^2 - 2a_0x_0) + (2a_0x)}$.

Es gilt:$v_0 = 0$, $a_0 =-9,81 m/s^2$, [$x_0 = 0 m$ und dann $x = 200m$]

Der Ball fällt einen Weg bei $x_0 = 0m$ beginnend bis er $x = 200 m$ gefallen ist. Der gesamte Weg ist also $x = -200m$. Es muss ein negatives Vorzeichen vor die Formel, weil die Fallrichtung entgegen der psoitiven x-Achse erfolgt:

Methode

$v(s) = -\sqrt{2a_0x)} = -\sqrt{2 \cdot -9,81 m/s^2 \cdot -200 m}$

$v(s) = -62,65 m/s$.

Die Endgeschwindigkeit oder auch Aufprallgeschwindigkeit des Tennisballes beträgt $v = 62,65 m/s$. 

(d) Falldauer

Die Falldauer berechnet sich durch die Formel für die Geschwindigkeit:

Methode

$v = -9,81 m/s^2 \cdot t$.

Diese aufgelöst nach der Zeit $t$ ergibt:

Methode

$t = \frac{v}{-9,81 m/s^2}$.

Es muss nun die Endgeschwindigkeit eingesetzt werden $v(s) = -62,65 m/s$:

$t = \frac{-62,65 m/s}{-9,81 m/s^2} = 6,4 s$.

Der Ball benötigt -6,4 s bis dieser den Boden erreicht.

Grafische Veranschaulichung

Es werden nacheinander das Beschleunigung-Zeit-Diagramm, das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, das Ort-Zeit-Diagramm und das Geschwindigkeit-Ort-Diagramm aufgezeigt. 

Beschleunigung-Zeit-Diagramm
Beschleunigung-Zeit-Diagramm

$\\$

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

$\\$

Ort-Zeit-Diagramm
Ort-Zeit-Diagramm

$\\$

Geschwindigkeit-Ort-Diagramm
Geschwindigkeit-Ort-Diagramm

Die Geschwindigkeit ist null, bei $x_0 = 0$, d.h. also kurz bevor der Ball fallen gelassen wird. Mit zunehmendem Weg $x$ steigt die Geschwindigkeit. Die negative Geschwindigkeit gibt an, dass sich der Ball entgegen der positiven $x$-Achse bewegt.