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Physik - Beispiel: Senkrechter Wurf

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Physik

Beispiel: Senkrechter Wurf

Beispiel

Ein Tennisball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 12 m/s$ senkrecht nach oben geworfen.

Senkrechter Wurf eines Tennisballs
Senkrechter Wurf eines Tennisballs

Die $x$-Achse zeigt hierbei von der Anfangslage aus senkrecht nach oben.

Welche Höhe erreicht der Ball?

Wie lange dauert es, bis der Ball den höchsten Punkt erreicht (Steigzeit)?

Wie lange dauert es, bis der Ball wieder zur Ausgangslage zurückkehrt (Wurfzeit)?

Die Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ wirkt dem Wurf entgegen. Diese ist nämlich im Gegensatz zur $x$-Achse nach unten gerichtet:

Methode

$a_0 = -g = -9,81 \frac{m}{s^2}$.

Die Beschleunigung kann ermittelt werden durch die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

Methode

$a_0 = \frac{dv}{dt}$.

Die Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration:

Methode

$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t a_0 \; dt$

$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$

$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$

$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.

Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):

Methode

$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.

Die Geschwindigkeit kann bestimmt werden durch die Ableitung des Ortes $x$ nach der Zeit $t$:

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$.

Der Ort ergibt sich also durch Integration wie folgt:

Methode

$\int_{x_0}^{x} x = \int_{t_0}^t v \; dt$.

Einsetzen von $v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$:

$\int_{x_0}^{x} x = \int_{t_0}^t  (12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t) \; dt$.

Integration:

Methode

$x - x_0 = 12 \frac{m}{s} (t - t_0) - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} (t - t_0)^2$

$x = x_0 + 12 \frac{m}{s} (t - t_0) - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} (t - t_0)^2$.

Die Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Dort ist die Integration bereits durchgeführt worden. Zum besseren Verständins und der Übersicht halber ist die Vorgehensweise hier aber nochmals aufgezeigt worden.

Es gilt $x_0 = 0$ und $t_0 = 0$:

Methode

$x = 12 \frac{m}{s} \cdot t - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t^2$.

Wurfhöhe

Es soll nun zunächst die Wurfhöhe bestimmt werden. Diese kann man aus dem Weg $x$ bestimmen, bei welchem die Geschwindigkeit $v = 0$ ist (am höchsten Punkt "steht" der Ball kurz in der Luft). Um die maximale Höhe $x$ zu bestimmen, kann man folgende Formel anwenden:

Methode

$x = 12 \frac{m}{s} \cdot t - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t^2$.

Steigzeit

Hierbei ist allerdings $t$ unbekannt. $t$ ist in diesem Fall die Steigzeit $t_s$. Wenn die Steigzeit $t_s$ bekannt ist, dann kann man berechnen wie hoch der Ball fliegt. Die Steigzeit kann man bestimmen aus:

Methode

$v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$.

Für $v = 0$ und umstellen nach $t = t_s$ gilt:

Methode

$t_s = \frac{12 \frac{m}{s}}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 1,22 s$

Die Steigzeit beträgt 1,22 Senkunden.

Steighöhe

Als nächstes kann nun die Steighöhe $x$ bestimmt werden mit:

Methode

$x = 12 \frac{m}{s} \cdot t - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t^2$.

Einsetzen von $t = t_s = 1,22s$:

Methode

$x = 12 \frac{m}{s} \cdot 1,22s - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} 1,22s^2 = 7,34 m$.

Der Ball erreicht eine Höhe von 7,34 m.

Als nächstes ist noch die gesamte Wurfzeit $t_w$ von Interesse. D.h. also die Zeit, die der Ball vom Wurf nach oben bis zurück zur Ausgangslange benötigt. Ist der Ball wieder zurück in seiner Ausgangslage, so befindet sich dieser wieder am Ort $x = 0$ (Ursprungsort). 

Methode

$x = 12 \frac{m}{s} \cdot t - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t^2$.

Mit $x = 0$ und $t = t_w$:

Methode

$0 = 12 \frac{m}{s} \cdot t_w - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t_w^2$.

Auflösen nach $t_w$:

Methode

$t_w = \frac{12 \frac{m}{s} \cdot 2}{9,81 \frac{m}{s^2}} = 2,44 s$

Die gesamte Wurfzeit ist die doppelte Steigzeit.

Merke

Es gilt also Steigzeit gleich Fallzeit