Beispiel
Ein Tennisball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 12 m/s$ senkrecht nach oben geworfen.
Die $x$-Achse zeigt hierbei von der Anfangslage aus senkrecht nach oben.
Welche Höhe erreicht der Ball?
Wie lange dauert es, bis der Ball den höchsten Punkt erreicht (Steigzeit)?
Wie lange dauert es, bis der Ball wieder zur Ausgangslage zurückkehrt (Wurfzeit)?
Die Erdbeschleunigung $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ wirkt dem Wurf entgegen. Diese ist nämlich im Gegensatz zur $x$-Achse nach unten gerichtet:
Methode
$a_0 = -g = -9,81 \frac{m}{s^2}$.
Die Beschleunigung kann ermittelt werden durch die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:
Methode
Die Geschwindigkeit ergibt sich also durch Integration:
Methode
$\int_{v_0}^v v = \int_{t_0}^t -9,81 \frac{m}{s^2} \; dt$
$v - v_0 = -9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$
$v = v_0 - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot (t - t_0)$.
Diese Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Es gilt $v_0 = 12 \frac{m}{s}$ sowie $t_0 = 0$ (Messung beginnt erst beim Abwurf):
Methode
Die Geschwindigkeit kann bestimmt werden durch die Ableitung des Ortes $x$ nach der Zeit $t$:
Methode
Der Ort ergibt sich also durch Integration wie folgt:
Methode
Einsetzen von $v = 12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t$:
$\int_{x_0}^{x} x = \int_{t_0}^t (12 \frac{m}{s} - 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot t) \; dt$.
Integration:
Methode
$x = x_0 + 12 \frac{m}{s} (t - t_0) - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} (t - t_0)^2$.
Die Formel kann auch dem Abschnitt gleichförmig beschleunigte Bewegung entnommen werden. Dort ist die Integration bereits durchgeführt worden. Zum besseren Verständins und der Übersicht halber ist die Vorgehensweise hier aber nochmals aufgezeigt worden.
Es gilt $x_0 = 0$ und $t_0 = 0$:
Methode
$x = 12 \frac{m}{s} \cdot t - 9,81 \frac{m}{s^2} \frac{1}{2} t^2$.
Wurfhöhe
Es soll nun zunächst die Wurfhöhe bestimmt werden. Diese kann man aus dem Weg $x$ bestimmen, bei welchem die Geschwindigkeit $v = 0$ ist (am höchsten Punkt "steht" der Ball kurz in der Luft). Um die maximale Höhe $x$ zu bestimmen, kann man folgende Formel anwenden:
Methode
Steigzeit
Hierbei ist allerdings $t$ unbekannt. $t$ ist in diesem Fall die Steigzeit $t_s$. Wenn die Steigzeit $t_s$ bekannt ist, dann kann man berechnen wie hoch der Ball fliegt. Die Steigzeit kann man bestimmen aus:
Methode
Für $v = 0$ und umstellen nach $t = t_s$ gilt:
Methode
Die Steigzeit beträgt 1,22 Sekunden.
Steighöhe
Als nächstes kann nun die Steighöhe $x$ bestimmt werden mit:
Methode
Einsetzen von $t = t_s = 1,22s$:
Methode
Der Ball erreicht eine Höhe von 7,34 m.
Als nächstes ist noch die gesamte Wurfzeit $t_w$ von Interesse. D.h. also die Zeit, die der Ball vom Wurf nach oben bis zurück zur Ausgangslange benötigt. Ist der Ball wieder zurück in seiner Ausgangslage, so befindet sich dieser wieder am Ort $x = 0$ (Ursprungsort).
Methode
Mit $x = 0$ und $t = t_w$:
Methode
Auflösen nach $t_w$:
Methode
Die gesamte Wurfzeit ist die doppelte Steigzeit.
Merke
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