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Physik

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, wenn die Beschleunigung konstant ist:

Methode

$a = const$ 

Bestimmung der Geschwindigkeit 

Methode

$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

$v - v_0 = a \cdot (t - t_0)$

Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:

Methode

$v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$

Bestimmung des Ortes

Methode

$v = \frac{dx}{dt}$.

Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} v \; dt $

Einsetzen von $v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$ liefert:

Methode

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} (v_0 + a \cdot (t - t_0)) dt $

Auflösen der Integration führt zu:

Methode

$x - x_0 = \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Für den Weg $x$ ergibt sich also:

Methode

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Beginnt die Zeitzählung bei $t_0 = 0$ so ergeben sich die obigen Formeln zu:

Methode

$v = v_0 + a \cdot t $

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t $.

Merke

Bei gleichförmig beschleunigten Bewegungen ist die Beschleunigung eine konstante Funktion, die Geschwindigkeit eine lineare Funktion und der Weg eine quadratische Funktion.

Anwendungsbeispiel: Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Beispiel

Wir betrachten ein Fahrzeug, dass innerhalb von $t = 3s$ auf einer Strecke von $x  =  21 m$ mit gleichförmiger, negativer Beschleunigung bis zum Stillstand abgebremst wird. Berechnet werden soll zum einen die Anfangsgeschwindigkeit des Fahrzeugs $v_0$ und zum anderen die von den Bremsen generierte Verzögerung $a_0$.

Wir wissen, dass eine gleichförmige Bremsung einer konstanten Beschleunigung ($a_0  = const$) entspricht.

Die Zeitzählung beginnt in diesem Fall bei Beginn des Bremsvorgangs bei $t_0 = 0s$.

Wir benötigen folgende Formeln für die Berechnung:

- Geschwindigkeit: $v  = v_0 + a \cdot t$

- Strecke: $x  = x_0 + \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t$

Wir kennen nur die Werte für die Zeit und die Strecke. Die Beschleunigung kennen wir nicht, daher formen wir die Formel für die Strecke nach $a$ um und setzen diese dann in die Wegformel ein.

$v =  v_0 + a \cdot t$                     |$- v_0$     |$: t$

Methode

$a  = \frac{(v - v_0)}{t}$

 

In die Wegformel eingesetzt erhalten wir:

$x  =  x_0 +\frac{1}{2}\frac{(v - v_0)}{t} \cdot t^2 + v_0 \cdot t$            | Kürzen

$x  =  x_0 +\frac{1}{2}(v-v_0) \cdot t + v_0 \cdot t$                        | Auflösen der Klammer

$x  =  x_0 +\frac{1}{2} v \cdot t - \frac{1}{2} v_0 \cdot t + v_0 \cdot t$

Methode

$x  =  x_0 + \frac{1}{2} v \cdot t + \frac{1}{2} v_0 \cdot t$

 

Der Bremsvorgang beginnt bei $x_0 = 0$. Die Geschwindigkeit ist nach Beendigung des Bremsvorganges bei $t = 3s$ und $x = 21m$ gleich Null ($v = 0 \frac{m}{s}$), weil das Fahrzeug zum Stillstand kommt.

Wir setzen jetzt die Werte in die Formel für die Geschwindigkeit ein und stellen diese nach $v_0$ um:

$21m  = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 3s + \frac{1}{2} v_0 \cdot 3s$          

$21m =  \frac{1}{2} v_0 \cdot 3s$                           | $\cdot 2$         |: t

Einsetzen von

$v_0 =  \frac{2 \cdot  21m}{3s}$                      | Kürzen

Ergebnis: $v_0 = 14 \frac{m}{s}$

Wir betrachten als nächstes die Formel (1):

$a = \frac{(v - v_0)}{t}$

Wir kennen die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 14 \frac{m}{s}$. Wir wissen, dass am Ende bei $t = 3s$ die Geschwindigkeit den Wert Null annimmt $v = 0$ (Wagen kommt zum Stillstand):

$a = \frac{(0 - 14 \frac{m}{s})}{3s}$

$a = \frac{(- 14 \frac{m}{s})}{3s} = -4,67 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung beträgt $-4,67 \frac{m}{s}$. Das negative Vorzeichnen macht deutlich, dass hier die Geschwindigkeit des Fahrzeugs verlangsamt wird.