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Physik

Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Es handelt sich um eine Gleichförmig beschleunigte Bewegung, wenn die Beschleunigung konstant ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $a = const$ 

Bestimmung der Geschwindigkeit 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v - v_0 = a \cdot (t - t_0)$

Für die Geschwindigkeit ergibt sich also:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$

Bestimmung des Ortes

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = \frac{dx}{dt}$.

Demnach kann man nun den Ort $x$ durch die bestimmte Integration der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} v \; dt $

Einsetzen von $v = v_0 + a \cdot (t - t_0)$ liefert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^{t} (v_0 + a \cdot (t - t_0)) dt $

Auflösen der Integration führt zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x - x_0 = \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Für den Weg $x$ ergibt sich also:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $x  = x_0 + \frac{1}{2} a \cdot (t - t_0)^2 + v_0 \cdot (t - t_0)$

Beginnt die Zeitzählung bei $t_0 = 0$ so ergeben sich die obigen Formeln zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $v = v_0 + a \cdot t $

$x  = x_0 + \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t $.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Bei gleichförmig beschleunigten Bewegungen ist die Beschleunigung eine konstante Funktion, die Geschwindigkeit eine lineare Funktion und der Weg eine quadratische Funktion.

Anwendungsbeispiel: Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Beispiel

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Wir betrachten ein Fahrzeug, dass innerhalb von $t \;=\; 3s$ auf einer Strecke von $x \; = \; 21 m$ mit gleichförmiger, negativer Beschleunigung bis zum Stillstand abgebremst wird. Brechnet werden soll zum einen die Anfangsgeschwindigkeit des Fahrzeugs $v_0$ und zum anderen die von den Bremsen generierte Verzögerung $a_0$.

Wir wissen, dass eine gleichförmige Bremsung einer konstanten Beschleunigung ($a_0 \; = \;const$) entspricht.

Die Zeitzählung beginnt in diesem Fall bei Beginn des Bremsvorgangs bei $t_0 \;=\; 0s$.

Wir benötigen folgende Formeln für die Berechnung:

- Geschwindigkeit: $\;v \; = \; v_0+ a \cdot t$

- Strecke: $\; x \; =\; x_0 + \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t$

Wir kennen nur die Werte für die Zeit und die Strecke. Die Beschleunigung kennen wir nicht, daher formen wir die Formel für die Strecke nach $a$ um und setzen diese dann in die Wegformel ein.

$v \; = \; v_0 + a \cdot t\;\;\;$ |$- v_0\;\;$ |$: t$

$a \; = \; \frac{(v\; - \;v_0)}{t}$

In die Wegformel eingesetzt erhalten wir:

$x \; = \; x_0 +\frac{1}{2}\frac{(v \;- \;v_0)}{t} \cdot t^2 + v_0 \cdot t\;\;\;$ | Kürzen

$x \; = \; x_0 +\frac{1}{2}(v-v_0) \cdot t + v_0 \cdot t\;\;\;$ | Auflösen der Klammer

$x \; = \; x_0 +\frac{1}{2} v \cdot t - \frac{1}{2} v_0 \cdot t + v_0 \cdot t\;\;\;$

$x \; = \; x_0 + \frac{1}{2} v \cdot t + \frac{1}{2} v_0 \cdot t$

Der Bremsvorgang beginnt bei $x_0 = 0$. Die Geschwindigkeit ist nach Beendigung des Bremsvorganges $v = 0 \frac{m}{s}$, weil das Fahrzeug zum Stillstand kommt. Wir können also in der Wegformel das $x_0$ und das $\frac{1}{2}v \cdot t$ weglassen.

Wir setzen jetzt die Werte in die Formel für die Geschwindigkeit ein und stellen diese nach $v_0$ um:

$21m \; = \; \frac{1}{2} v_0 \cdot t\;\;$ | $\cdot 2\;\;$ |: t

$v_0 \; = \; \frac{2 \;\cdot \; 21m}{2s}\;\;$ | Kürzen

Ergebnis: $21 \frac{m}{s}$

Wir setzen jetzt $v_0$ in die Geschwindigkeitsformel ein:

$v \; = \; 21 \frac{m}{s} + a \cdot t \;\;$ | Auflösen nach $a$               ($v \; = \; 0$, da Bremsung bis zum Stillstand)

$a \; = \;- \frac{21\frac{m}{s}}{t} \;\;$ | Einsetzen von $t \; = \; 3s$

$a \; = \;- \frac{21\frac{m}{s}}{3s}$

Ergebnis: $a \; = \; -7 \frac{m}{s^2}$

Die Beschleunigung beträgt $7 \frac{m}{s}$. Das negative Vorzeichnen macht deutlich, dass hier die Geschwindigkeit des Fahrzeugs verlangsamt wird.