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Physik - Kräftezerlegung

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Physik

Kräftezerlegung

Im vorherigen Abschnitt haben wir den Fall gezeigt, wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken. Diese können alle zusammen zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, der Resultierenden $R$. Für das Newtonsche Grundgesetz $\sum F = ma$ ist es sinnvoll die Betrachtung der Bewegung in $x$- und $y$-Richtung zu zerlegen. Die $x$-Achse zeigt immer in Richtung der Bewegung, die $y$-Achse steht senkrecht auf der $x$-Achse.

Methode

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$R_x = ma_x$

$R_y = ma_y$

Es gilt $R_x = \sum F_x$ und $R_y = \sum F_y$.

Häufig tritt der Fall ein, dass die auf den Körper wirkenden Kräfte nicht in $x$- oder $y$-Richtung zeigen, sonder in der $x,y$-Ebene liegen und damit einen Winkel zur $x$- oder $y$-Achse aufweisen. Diese Kräfte müssen dann zunächst in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt werden, um dann in die Berechnung der Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ einfließen zu können.

Kräfterzerlegung
Zwei Kräfte in der Ebene

Kräftezerlegung

Die obigen beiden Kräfte zeigen in $x$- und $y$-Richtung. Wir müssen diese beiden Kräfte also zunächst in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegen.

In der nachfolgenden Grafik sind die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ gegeben. Um die Kräfte in ihre Komponenten zu zerlegen, legt man die Kraft mit den Anfangspunkt in den Koordinatenursprung. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Kraft $F_1$ im 4. Quadranten liegt und die Kraft $F_2$ im 1. Quadranten.

Kräftezerlegung
Zerlegung einer Kraft in x- und y-Richtung

In der obigen Grafik sind die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ jeweils in ihre Komponenten zerlegt worden. Jede Kraft besitzt dabei zwei Komponenten in $x$- und $y$-Richtung, sofern die Kraft nicht bereits in $x$- oder $y$-Richtung zeigt. Je nachdem in welchem Quadranten die Kraft liegt, ist auch die Richtung der Teilresultierenden unterschiedlich.

Berechnung der Komponenten

Die Komponenten einer Kraft können (bei gegebener Einzelkraft und einem Winkel zur $x$-Achse) wie folgt berechnet werden:

Methode

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$F_x = F \cos \alpha$

$F_y = F \sin \alpha$

Nachdem die Komponenten der Kräfte berechnet worden sind, können als nächstes die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden:

$R_x = \sum F_{ix} = F_{1x} + F_{2x} = F_1 \cos(\alpha) + F_2 \cos(\beta)$

$R_y = \sum F_{iy} = F_{1y} + F_{2y} = -F_1 \sin(\alpha) +  F_2 \sin(\beta)$

Merke

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Wichtig: Die Kräfte die in positive Achsenrichtung zeigen, gehen positiv in die Berechnung ein und die Kräfte in negative Achsenrichtung werden negativ berücksichtigt.

Soll dann noch die Resultierende bestimmt werden, also die Zusammenfassung der Kräfte zu einer einzigen Kraft, dann gelten die Gleichungen aus dem vorherigen Abschnitt:

Methode

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$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$


mit dem Winkel $\alpha$ von der Resultierenden zur Teilresultierenden $R_x$:

Methode

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$\alpha = arctan(\frac{R_y}{R_x})$