Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt

Technische Mechanik 1: Statik

Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt

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In diesem Abschnitt werden mehr als zwei Kräfte betrachtet, welche sich alle in einem Punkt schneiden (gemeinsamer Angriffspunkt). Es wird gezeigt, wie man alle gegebenen Kräfte zu einer einzigen Resultierenden zusammenfassen kann:

  • Zunächst erfolgt die Kräftezerlegung aller nicht vertikal oder horizontal gerichteten Kräfte.
  • Danach werden die horizontalen Kräfte zu einer horizontalen Teilresultierenden $R_x$ und die vertikalen Kräfte zu einer vertikalen Teilresultierenden $R_y$ zusammengefasst. Die beiden Teilresultierenden stehen senkrecht zueinander und liegen auf der $x$- bzw- $y$-Achse.
  • Mittels dem Satz des Pythagoras kann dann der Betrag der Kraft bestimmt werden. Der Tangens wird zur Bestimmung der Richtung der Resultierenden verwendet.

Im Folgenden werden die einzelnen Schritte separat aufgeführt.

Merke

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Diese Vorgehensweise ist natürlich ebenfalls für zwei gegebene Kräfte möglich.

Kräftezerlegung

Schneiden sich mehr als zwei Kräfte in einem Punkt, dann existieren Kräfte die mit einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. 

In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wirkt also zum Teil in $x$- als auch in $y$-Richtung. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.

Kräftezerlegung
Kräftezerlegung - Komponentendarstellung

In der Grafik wurde die Einzelkraft $F $ in ihre Teilkräfte $F_x$ und $F_y$ zerlegt.

Berechnung der Kraftkomponenten

Die Komponenten einer Kraft können (bei gegebener Einzelkraft und dem Winkel $\alpha$ zur $x$-Achse) wie folgt berechnet werden:

Methode

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$F_x = F \cos \alpha; \; F_y = F \sin \alpha$

 

Der Betrag der Einzelkraft ergibt sich durch den Satz des Pythagoras mit

Methode

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$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$

 

und die Richtung der Einzelkraft ergibt sich durch

$\tan \alpha = \frac{F_y}{F_x}$

aufgelöst nach $\alpha$:

Methode

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$\alpha = arctan(\frac{F_y}{F_x})$

Merke

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Hierbei handelt es sich um den Winkel $\alpha$ von der Resultierenden $F$ zur Kraft $F_x$. 

Video: Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt

Zusammenfassung zu Teilresultierenden

Will man alle Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt zu einer einzigen Kraft der sogenannten Resultierenden $R$ zusammenfassen, so müssen zunächst die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ bestimmt werden. Hierfür werden alle Kräfte, die nicht bereits horizontale oder vertikale Kräfte darstellen, in ihre Komponenten zerlegt (siehe oben Kräftezerlegung). Die Teilresultierende $R_x$ beinhaltet alle horizontalen Kräfte (in $x$-Richtung, auch die Komponenten in $x$-Richtung), die Teilresultierende $R_y$ alle vertikalen Kräfte ($y$-Richtung, auch die Komponenten in $y$-Richtung).  

Methode

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$R_x = \sum F_{ix}$

$R_y = \sum F_{iy}$

Merke

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Wichtig: Kräfte in positive Achsenrichtung werden positiv berücksichtigt, Kräfte in negative Achsenrichtung negativ.

Bestimmung der Resultierenden

Die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ können dann mittels Satz des Pythagoras zu einer einzigen Resultierenden zusammengefasst werden:

Methode

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$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$                      Resultierende


Die Richtung der Resultierenden kann mittels Tangens bestimmt werden:

$\tan (\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$          

aufgelöst nach $\alpha$:

Methode

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$\alpha = arctan(\frac{R_y}{R_x})$                                          Winkel von $R$ zu $R_x$

Merke

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Die Komponentenschreibweise empfiehlt sich immer bei einer Kraftzerlegung in der Ebene oder im Raum. Hierbei möchte man wissen, in welchem Umfang eine Kraft in x- und y-Richtung [Ebene], bzw. in x-, y- und z-Richtung [Raum] wirkt.


Download: Aufgabe und Lösung zur zentralen Kräftegruppe

Beispiel

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statik-aufgabe-zentrale-kraeftegruppe-resultierendeentrale Kräftegruppe

Anwendungsbeispiel: Komponentendarstellung

Beispiel

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Gegeben sei die folgende Darstellung der Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ mit gleichem Angriffspunkt, sowie deren Winkel gemessen zur positiven $x$-Achse:

Beispiel Komponentendarstellung
Beispiel 

Berechne den Betrag der Resultierenden und ihre Richtung!

In der obigen Grafik sind die Kräfte und ihre Winkel gemessen zur $x$-Achse angegeben. Diese Kräfte müssen zunächst jeweils in Komponenten zerlegt werden, welche in $x$- und $y$-Richtung zeigen. Diese Kräfte werden dann  zu einer Teilresultierenden in $x$-Richtung und die Teilresultierenden in $y$-Richtung zusammengefasst. Mittels Satz des Pythagoras kann aus den Teilresultierenden die Resultierende berechnet werden. 

Komponenten in x-Richtung

$F_{1x} = F_1 \cos \alpha_1 = 20 N \cos (45°) = 14,14 N$

$F_{2x} = F_2 \cos \alpha_2 = 14 N \cos (160°) = -13,16 N $

$F_{3x} = F_3 \cos \alpha_3 = 25 N \cos (245°) = -10,57 N $

Hinweis

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Da hier die Winkel zur positiven $x$-Achse verwendet werden, wird das Vorzeichen bereits angegeben und muss nicht innerhalb der Berechnung der Teilresultierenden zusätzlich berücksichtigt werden.

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} $

$= 14,14 N - 13,16 N - 10,57 N $

$ = -9,59 N$

 

Alternativ über die eingeschlossenen Winkel:

$F_{1x} = F_1 \cos \alpha_1 = 20 N \cos (45°) = 14,14 N$

$F_{2x} = F_2 \cos \alpha_2 = 14 N \cos (20°) = 13,16 N $    Winkel zur negativen $x$-Achse

$F_{3x} = F_3 \cos \alpha_3 = 25 N \cos (65°) = 10,57 N $    Winkel zur negativen $x$-Achse

 

Hier muss bei der Berechnung das Vorzeichen der Kräfte berücksichtigt werden (positive Achsenrichtung = positives Vorzeichen):

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} $

$= 14,14 N - 13,16 N - 10,57 N $

$ = -9,59 N$

 

Komponenten in y-Richtung

$F_{1y} = F_1 \sin \alpha_1 = 20 N \sin (45°) = 14,14 N$

$F_{2y} = F_2 \sin \alpha_2 = 14 N \sin (160°) = 4,79 N $

$F_{3y} = F_3 \sin \alpha_3 = 25 N \sin (245°) = -22,66 N $

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} $

$= 14,14 N + 4,79 N - 22,66 N $

$ = -3,73 N$

Komponentendarstellung
Komponentendarstellung

In der Grafik wird nochmals die obige Vorgehensweise deutlich. Die Kräfte $F_1$ bis $F_3$ werden in ihre Komponenten zerlegt, welche in $x$- und $y$-Richtung zeigen. Dies geschieht mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. Man sieht ganz deutlich, dass sich die obigen Komponenten der $x$-Achse und der $y$-Achse jeweils zusammenfassen lassen (Addition bzw. Subtraktion). Als Beispiel: Die $x$-Achse hat die Komponenten $F_{1x}$, $F_{2x}$ und $F_{3x}$. Diese besitzen dieselbe Wirkungslinie (siehe Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie). Die Beträge dieser können durch Addition (bei gleicher Richtung) bzw. Subtraktion (bei entgegengesetzter Richtung) zusammengefasst werden zu einer Resultierenden $R_x$ (gleiches gilt für die $y$-Achse). Erfolgt die Berechnung mit den Winkeln zur positiven $x$-Achse, dann besitzen die Kräfte bereits ihre Vorzeichen und es erfolgt eine Addition (siehe obiges Beispiel).

Berechnung der Resultierenden und ihrer Richtung

Die Resultierende kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, da $R_x$ und $R_y$ einen rechten Winkel bilden:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-9,59 N)^2 + (-3,73 N)^2} = 10,29 N$

Da die Resultierende als Betrag angegeben wird, ist die Richtung zusätzlich entscheidend:

$\tan (\alpha_R) = \frac{R_y}{R_x} $

$\alpha_R = \tan^{-1} (\frac{R_y}{R_x}) = \tan^{-1} (\frac{-3,73}{-9,59}) = 21,25° $

Da sowohl $R_x$ als auch $R_y$ negativ sind (sich also auf den negativen Achsen befinden), muss der errechnete Winkel noch zu 180° hinzuaddiert werden: 201,25°. (Die 21,25° beziehen sich auf die negative $x$-Achse, der Winkel von 201,25° bezieht sich auf die positive $x$-Achse).

Resultierende
Resultierende

Video: Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt