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Physik - Zusammenwirken mehrerer Kräften

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Physik

Zusammenwirken mehrerer Kräften

Häufig wirken auf einen Körper nicht nur eine einzige Kraft, sondern mehrere Kräfte. Wir also zum Beispiel ein Körper durch mehrere Kräfte belastet und beginnt sich aufgrund der Krafteinwirkung aller Kräfte zu bewegen, so muss für das Newtonsche Grundgesetz $F =ma$ die Summe aller Kräfte berücksichtigt werden:

Methode

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$\sum F = ma$

Die Summe aller Kräfte bezeichnet man als resultierende Kraft oder Resultierende $F_R bzw. $R$.

In der nachfolgenden Grafik sind Kräfte in $x$- und $y$-Richtung aufgezeigt. Es werden nun zunächst die Kräfte in $x$-Richtung und in $y$-Richtung separat voneinander betrachtet.

Zusammenwirken von Kräften
Zusammenwirken von Kräften

Wir betrachten zunächst die Kräfte in $x$-Richtung.

Die Kräfte $F_1$ und $F_2$ zeigen in positive $x$-Richtung, gehen also mit einem positiven Vorzeichen in die Berechnung ein. Die resultierende Kraft $R_x$ in $x$-Richtung ergibt sich dann zu:

$R_x = \sum F_{xi} = F_1 + F_2$

Danach betrachten wir die $y$-Richtung:

Die Kraft $F_3$ zeigt in negative $y$-Richtung, muss also mit einem Minuszeichen berücksichtigt werden. Die Kraft $F_4$ zeigt in positive $y$-Richtung, wird also positiv berücksichtigt. Die resultierende Kraft $R_x$ in $x$-Richtung ergibt sich dann zu:

$R_y = \sum F_{yi} = -F_3 + F_4$

Teilresultierende
Teilresultierende

Resultierende aus den Teilresultierenden berechnen

Die beiden obigen Kräfte $R_x$ und $R_y$ werden auch Teilresultierende genannt. Aus den beiden Teilresultierenden in $x$- und $y$-Richtung kann nun die Resultierende $R$ bestimmt werden. Die beiden Teilresultierenden stehen senkrecht (90°-Winkel) aufeinander. Das bedeutet also, dass die Resultierende mittels Satz des Pythagoras berechnet werden kann:

Methode

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$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$                Resultierende

Diese Kraft ist nun die resultierende Kraft. Es sind also alle auf den Körper einwirkenden Kräfte durch eine einzige Kraft $R$ ersetzt worden.

Wir kennen nun also die Resultierende $R$. Allerdings wissen wir noch nicht in welche Richtung diese zeigt. Um die Richtung der Resultierenden bestimmen zu können, verwendet man den Tangens:

Resultierende
Resultierende

In der obigen Grafik sind die Teilresultierenden mittels Vektoraddition aneinander gelegt worden. Das Ergebnis der Vektoraddition ist die Resultierende $R$. Wir können nun die Richtung der Resultierenden angeben. In den meisten Fällen wird dabei der Winkel zwischen der Resultierenden und der Teilresultierenden $R_x$ verwendet. Es handelt sich also um den Winkel der Resultierenden zur Horizontalen:

Methode

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$\tan{\alpha} = \frac{R_x}{Ry}$           Richtung der Resultierenden zu $R_x$

bzw.

$\alpha = arctan(\frac{R_x}{Ry})$

Da sich in unserem Beispiel alle Kräfte in einem gemeinsamen Punkt (= gemeinsamer Angriffspunkt) schneiden, liegt die Resultierende ebenfalls in diesen Schnittpunkt.

Merke

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Bei Kräften die sich nicht in einem Punkt schneiden muss zusätzlich die Lage der Resultierenden bestimmt werden. Dieses Vorgehen wird ausführlich im Onlinekurs Statik beschrieben. 

Newtonsches Grundgesetz

Für die Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes hingegen ist es nicht sinnvoll die resultierende Kraft $R$ zu bilden, sondern die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$. Denn auch das Newtonsche Grundgesetz wird in $x$- und $y$-Richtung separat betrachtet:

$R_x = ma_x$

$R_y = ma_y$

Dabei ist $a_x$ der Anteil der Beschleunigung in $x$-Richtung und $a_y$ der Anteil der Beschleunigung in $y$-Richtung.