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Technische Mechanik 1: Statik - Räumliche Zusammensetzung von Kräften

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Technische Mechanik 1: Statik

Räumliche Zusammensetzung von Kräften

In diesem Abschnitt wird das allgemeine Kraftsystem im Raum betrachtet. Wie beim ebenen Kraftsystem können auch hier die Kräfte zu Teilresultierenden in $x$-, $y$- und $z$-Richtung zusammengefasst werden und am Ende zu einer einzigen Resultierenden mit dem Betrag

$R =\sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2}$     

mit $R_x = \sum{F_{ix}}, \; R_y = \sum{F_{iy}}$ und $R_z = \sum{F_{iz}}$.

Die Momente der Kräfte können ebenfalls in einem einzigen resultierenden Momentenvektor ausgedrückt werden:

$M_R^{(X)} = \sum{M_i^{(X)}}$

mit $M_i^{(X)} = F_i \cdot h$

Merke

Bei der Berechnung der Momente $M_i$ ist wieder wichtig, dass der Abstand $h$ zwischen gewähltem Bezugspunkt und tatsächlicher Lage berücksichtigt wird. 

Anwendungsbeispiel: Kräfte im Raum

Kräfte im Raum
Kräfte im Raum

Beispiel

Gegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = 10m$. Die Beträge der Kräfte sind der Grafik zu entnehmen.

Berechne die Resultierende sowie das Moment für den Bezugspunkt $X$.

Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden $R_x$, $R_y$ und $R_z$ berechnet. Dazu benötigt man das Einzeichnen des Koordinatensystems. Der Bezugspunkt $X$ ist dabei der Koordinatenursprung. Die Kräfte werden solange parallel zu sich selbst verschoben, bis diese die Wirkungslinie des Bezugspunktes $X$ schneiden. 

Kräfte im Raum - Koordinatensystem
Kräfte im Raum - Koordinatensystem
Berechnung der Teilresultierenden

$R_x = \sum{F_{ix}}  = F_1 \cdot \cos (180°) + F_3 \cdot \cos (180°) $           (alle anderen fallen weg)

$= -F_1 - F_3 = -5 - 10 = -15 N$   

$R_y = F_5 + F_6 = 30 N$

$R_z = F_2 - F_4 = 5 N$

Betrag der Resultierenden

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{(-15)^2 + 30^2 + 5^2} = \sqrt{1150} = 33,91 N$

Berechnung des Moments

Die einzelnen Momente werden unter Berücksichtigung ihrer Abstände zum Bezugspunkt berechnet. Auch hier kann man zuerst die Teilmomente für die Teilresultierenden in $x$-, $y$- und $z$-Richtung bestimmen. Dies dient der besseren Übersicht und kann später bei der Lösung verschiedener Aufgaben angewandt werden.

Im nächsten Schritt soll als erstes gezeigt werden, wie die Teilmomente berechnet werden. Am einfachsten kann man sich das anhand einer Grafik deutlich machen:

Rotation um die x-Achse
Rotation um die x-Achse

Es wird zunächst die $x$-Achse betrachtet und das Moment für die Teilresultierende $R_x$ gesucht. Es sind alle Kräfte und ihr Hebelarm von Bedeutung, die um die $x$-Achse rotieren. Betrachtet man zum Beispiel $F_2$ in der obigen Grafik, so ist zu sehen, dass $F_2$ nicht auf der $x$-Achse liegt (d.h. die Wirkungslinie schneidet nicht die x-Achse) und damit schon mal in Betracht gezogen wird. Als nächstes ist wichtig, ob ein Hebelarm so gegeben ist, dass $F_2$ um die $x$-Achse rotiert. Die Seite $b$ würde zu keiner Rotation um die $x$-Achse, sondern um die $y$-Achse führen. Die Seite $a$ hingegen führt zu einer Rotation um die $x$-Achse, weshalb hier ein Moment für die Teilresultierende $R_x$ gegeben ist.

So verfährt man mit jeder Kraft. Die Kraft $F_3$ beispielsweise fällt weg, da ihre Wirkungslinie die $x$-Achse schneidet. Genau wie die Kräfte $F_4$ und $F_5$. Es bleiben die Kräfte $F_1$ und $F_6$ zu überprüfen. $F_1$ rotiert mit Seite $a$ um die $z$-Achse und mit Seite $c$ um die $y$-Achse (Seite $b$ ist nicht von Bedeutung, da diese mit der Kraft $F_1$ keinen Hebelarm und damit keine Rotation erzeugt). $F_6$ rotiert mit Seite $b$ um die $z$-Achse und mit Seite $c$ um die $x$-Achse. Das bedeutet wir haben ein zweites Moment. Als nächstes ist noch die Richtung von Bedeutung. Mit dem Uhrzeigersinn negativ und entgegen positiv, ergibt das Teilmoment für $R_x$:

$M^{(X)}_{R_x} =  \sum{M^{(X)}_{ix}} =  F_2 \cdot a - F_6 \cdot c$

$= 10 N \cdot 5m - 15 N \cdot 10m = -100 Nm$

Das obige Vorgehen wird jetzt für die Teilresultierenden $R_y$ und $R_z$ wiederholt. Die Teilmomente sind:

$M^{(X)}_{R_y} = F_4 \cdot b = 5 N \cdot 5m = 25 Nm$

$M^{(X)}_{R_z} = F_6 \cdot b + F_1 \cdot a + F_5 \cdot b $

$= 15 N \cdot 5m + 5 N \cdot 5m + 15 N \cdot 5m = 175 Nm$

Aufstellung des Momentenvektors und Berechnung des Betrages

Die Teilmomente können dann in einem Momentenvektor zusammengefasst werden

$M^{(X)}_R = \begin{pmatrix} M^{(X)}_{R_x} \\ M^{(X)}_{R_y} \\ M^{(X)}_{R_z} \end{pmatrix}$

$M^{(X)}_R = \begin{pmatrix} -100 \\ 25 \\ 175 \end{pmatrix}$

der Betrag ergibt sich dann (siehe Höhere Mathematik 1: Vektoren):

$M^{(X)}_R = \sqrt{(-100)^2 + 25^2 + 175^2} = 203,10 Nm$

Gleichgewicht im Raum

Ein räumliches Kräftesystem befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultierende $R$ und das resultierende Moment $M^{(X)}_R$ bezüglich des Bezugspunktes $X$ verschwinden (gleich null sind). Somit gilt auch für die Teilresultierenden

$R_x = \sum F_{ix} = 0$           

$R_y = \sum F_{iy} = 0$

$R_z = \sum F_{iz} = 0$


und für die Momente der Teilresultierenden

$M^{(X)}_{R_x} = \sum M^{(X)}_{ix} = 0$

$M^{(X)}_{R_y} = \sum M^{(X)}_{iy} = 0$

$M^{(X)}_{R_z} = \sum M^{(X)}_{iz} = 0$.