Vektorsubtraktion

Die Subtraktion von Vektoren ist Gegenstand dieses Abschnittes. Sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, so bestimmt sich die Subtraktion der beiden Vektoren wie folgt:

Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen $x$-,$y$- und $z$-Werte der jeweiligen Vektoren voneinander subtrahiert.

Im Gegensatz zur Vektoraddition ist die Vektorsubtraktion nicht kommutativ, d.h. die Reihenfolge in welcher die Vektoren miteinander subtrahiert werden ist relevant für das Ergebnis.

Die Vektorsubtraktion wird im Folgenden anhand eines Beispiels aufgezeigt. Wir betrachten dazu Vektoren in der Ebene um die Ergebnisse grafisch visualisieren zu können:

Die beiden obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:

Vektoren in der Ebene

Wir führen als nächstes die Subtraktion der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 - 4 \\ 4 - 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)$

Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(-3,1)$:

Vektorsubtraktion - Resultierender Vektor

Grafische Vektorsubtraktion

Bei der grafischen Vektorsubtraktion wird der Vektor, welcher subtrahiert wird um 180° gedreht, d.h. Anfangspunkt und Spitze werden einfach vertauscht. Danach wird die grafische Vektoraddition nach dem im vorherigen Abschnitt behandelten Verfahren durchgeführt.

Es gilt:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + -\vec{b}$

Dieser negative Vektor $-\vec{b}$ entspricht einer 180° Drehung des Vektors $\vec{b}$, d.h. Anfangspunkt und Spitze des Vektors $\vec{b}$ werden einfach vertauscht.

Wir beginnen mit dem Vektor $\vec{a}$. Der Vektor $-\vec{b}$ wird dann mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $\vec{a}$ gelegt:

Grafische Vektorsubtraktion

Da der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird, muss dieser negativ berücksichtigt werden. Das wiederum bedeutet, dass der Vektor $-\vec{b}$ genau entgegengesetzt zum Vektor $\vec{b}$ eingezeichnet wird und damit auch die Schritte in $x$-Richtung und $y$-Richtung entgegengesetzt vorzunehmen sind. Es wird also eine grafische Vektoraddition mit dem Vektor $\vec{a}$ und dem Vektor $-\vec{b}$ vorgenommen.

Der resultierende Vektor $\vec{c}$ ergibt sich dann, indem dieser mit dem Anfangspunkt an den Anfangspunkt des ersten Vektors $\vec{a}$ und mit der Spitze an die Spitze des letzten Vektors $-\vec{b}$ gelegt wird:

Grafische Vektorsubtraktion - Resultierender Vektor