ZU DEN KURSEN!

Physik - Vektorsubtraktion

Kursangebot | Physik | Vektorsubtraktion

Physik

Vektorsubtraktion

x
Juracademy JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien für deine Prüfungsvorbereitung erwarten dich:
ingenieurkurse.de Flatrate


1777 Lerntexte mit den besten Erklärungen

206 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

2551 Übungen zum Trainieren der Inhalte

2560 informative und einprägsame Abbildungen

Die Subtraktion von Vektoren ist Gegenstand dieses Abschnittes. Sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, so bestimmt sich die Subtraktion der beiden Vektoren wie folgt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Subtraktion: $\vec{a} - \vec{b} =  \left( \begin{array}{c} a_x - b_x \\ a_y - b_y \\ a_z - b_z \\ ... \\ a_n - b_n \end{array} \right)$

Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen $x$-,$y$- und $z$-Werte der jeweiligen Vektoren voneinander subtrahiert.

Im Gegensatz zur Vektoraddition ist die Vektorsubtraktion nicht kommutativ, d.h. die Reihenfolge in welcher die Vektoren miteinander subtrahiert werden ist relevant für das Ergebnis.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$         Vektorsubtraktion ist nicht kommutativ


Die Vektorsubtraktion wird im Folgenden anhand eines Beispiels aufgezeigt. Wir betrachten dazu Vektoren in der Ebene um die Ergebnisse grafisch visualisieren zu können:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben seien die zwei Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

Die beiden obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:

Vektorsubtraktion
Vektoren in der Ebene

Wir führen als nächstes die Subtraktion der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 - 4 \\ 4 - 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)$

Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(-3,1)$:

Vektorsubtraktion
Vektorsubtraktion - Resultierender Vektor

Grafische Vektorsubtraktion

Bei der grafischen Vektorsubtraktion wird der Vektor, welcher subtrahiert wird um 180° gedreht, d.h. Anfangspunkt und Spitze werden einfach vertauscht. Danach wird die grafische Vektoraddition nach dem im vorherigen Abschnitt behandelten Verfahren durchgeführt.

Es gilt:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + -\vec{b}$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$-\vec{b} = (-4, -3)$

Dieser negative Vektor $-\vec{b}$ entspricht einer 180° Drehung des Vektors $\vec{b}$, d.h. Anfangspunkt und Spitze des Vektors $\vec{b}$ werden einfach vertauscht.

Wir beginnen mit dem Vektor $\vec{a}$. Der Vektor $-\vec{b}$ wird dann mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $\vec{a}$ gelegt:

Grafische Vektorsubtraktion
Grafische Vektorsubtraktion

Da der Vektor $\vec{b}$ vom Vektor $\vec{a}$ abgezogen wird, muss dieser negativ berücksichtigt werden. Das wiederum bedeutet, dass der Vektor $-\vec{b}$ genau entgegengesetzt zum Vektor $\vec{b}$ eingezeichnet wird und damit auch die Schritte in $x$-Richtung und $y$-Richtung entgegengesetzt vorzunehmen sind. Es wird also eine grafische Vektoraddition mit dem Vektor $\vec{a}$ und dem Vektor $-\vec{b}$ vorgenommen.

Der resultierende Vektor $\vec{c}$ ergibt sich dann, indem dieser mit dem Anfangspunkt an den Anfangspunkt des ersten Vektors $\vec{a}$ und mit der Spitze an die Spitze des letzten Vektors $-\vec{b}$ gelegt wird:

Grafische Vektorsubtraktion
Grafische Vektorsubtraktion - Resultierender Vektor

Video: Vektorsubtraktion