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Physik

Vektoraddition

Die Addition von Vektoren ist Gegenstand dieses Abschnittes. Sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben, so bestimmt sich die Addition der beiden Vektoren wie folgt:

Methode

Addition: $\vec{a} + \vec{b} =  \left( \begin{array}{c} a_x + b_x \\ a_y + b_y \\ a_z + b_z \\ ... \\ a_n + b_n \end{array} \right)$

Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen $x$-,$y$- und $z$-Werte der einzelnen Vektoren miteinander addiert.

Die Vekoraddition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge in welcher die Vektoren aufaddiert werden ändert nicht das Ergebnis:

Methode

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$          Vektoraddition ist kommutativ


Die Vektoraddition wird im Folgenden anhand eines Beispiels aufgezeigt. Wir betrachten dazu Vektoren in der Ebene um die Ergebnisse grafisch visualisieren zu können:

Beispiel

Gegeben seien die zwei Vektoren:

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right)$

$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

Die beiden obigen Vektoren legen wir zunächst in den Koordinatenursprung. Sie zeigen dann auf die Punkte $A(1,4)$ und $B(4,3)$:

Vektoraddition
Vektoren in der Ebene

Wir führen als nächstes die Addition der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ durch:

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1+4 \\ 4 +3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array} \right)$

Wir können diesen Vektor wieder in den Koordinatenursprung legen. Dieser zeigt dann auf den Punkt $C(5,7)$:

Vektoraddition
Vektoraddition

Grafische Vektoraddition

Die Vektoraddition kann auch grafisch vorgenommen werden, um den resultierenden Vektor zu bestimmen. 

Begonnen wird mit einem beliebigen Vektor. Danach wird der zweite Vektor mit dem Anfangspunkt an die Spitze des ersten Vektors gelegt. Sind zum Beispiel drei Vektoren gegeben, so würde der dritte Vektor mit dem Anfangspunkt an die Spitze des zweiten Vektors gelegt werden usw.

Den resultierenden Vektor erhält man dann, indem der Anfangspunkt des resultierenden Vektors an den Anfangspunkt des ersten Vektors gelegt wird und die Spitze des resultierenden Vektors an die Spitze des letzten Vektors.

Wir beginnen mit dem Vektor $\vec{a}$. Der Vektor $\vec{b}$ wird dann mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $\vec{a}$ gelegt. Die Richtung und die Länge der Vektoren dürfen dabei nicht verändert werden:

grafische Vektoraddition
Grafische Vektoraddition

Der resultierende Vektor $\vec{c}$ ergibt sich dann, indem dieser mit dem Anfangspunkt an den Anfangspunkt des ersten Vektors $\vec{a}$ und mit der Spitze an die Spitze des letzten Vektors $\vec{b}$ gelegt wird:

Vektoraddition grafisch resultierender Vektor
Grafische Vektoraddition - Resultierender Vektor

Die Koordinaten des Vektors $\vec{c}$ ergeben sich, indem wir vom Anfangspunkt des Vektors zur Spitze des Vektors 5 Schritte in positive $x$-Richtung und 7 Schritte in positive $y$-Richtung gehen:

$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array} \right)$

Merke

Die Vektoraddition ist kommutativ. Das Ergebnis ist immer identisch, unerheblich davon welche Reihenfolge bei der Vektoraddition gewählt wird.

Anwendungsbeispiel: Grafische Vektoraddition

Beispiel

Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (1,2)$, $\vec{b} = (3,-1)$ und $\vec{c} = (-2,-3)$.

Führe die grafische Vektoraddition durch!

Da die Vektoraddition kommutativ ist, ist die Reihenfolge in welcher die Vektoren aneinandergelegt werden für das Ergebnis nicht relevant. Wir werden die folgende Reihenfolge betrachten:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Vektoraddition grafisch
Grafische Vektoraddition

Wir sind mit dem Vektor $\vec{a}$ in einem beliebigen Punkt gestartet. Der Vektor $\vec{b}$ wird nun mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $\vec{a}$ gelegt. Danach wird der Vektor $\vec{c}$ mit dem Anfangspunkt an die Spitze des Vektors $\vec{b}$ gelegt. 

Der Anfangspunkt des resultierenden Vektors wird an den Anfangspunkt des ersten Vektors $\vec{a}$ und die Spitze des resultierenden Vektors an die Spitze des letzten Vektors $\vec{c}$ gelegt:

grafische Vektoraddition
Vektoraddition dreier Vektoren - Resultierender Vektor

Der resultierende Vektor ergibt sich dann, indem vom Anfangspunkt zur Spitze $2$ Schritte in positive $x$-Richtung und $-2$ in negative $y$-Richtung gemacht werden:

$\vec{R} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \end{array} \right)$


Betrachten wir die rechnerische Vektoraddition, so erhalten wir genau das Ergebnis:

$\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} =  \left( \begin{array}{c} 1 + 3 + (-2) \\ 2 + (-1) + (-3) \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \end{array} \right)$