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Physik

Isobare Zustandsänderung

Handelt es sich um eine isobare Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass der Druck $p$ konstant bleibt:

$p = const \; \rightarrow \; \triangle p = 0$.

Beispiel

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Was passiert bei einer isobaren Zustandsänderung?

Man stelle sich ein geschlossenes mit Luft gefülltes Gefäß vor, welches einen bestimmten Druck aufweist. Die Wände des Gefäßes seien verschiebbar. Zu Beginn herrscht innerhalb des Gefäßes ein Anfangszustand, das bedeutet es herrscht eine bestimmte Temperatur und die Luft nimmt ein bestimmtes Volumen ein. Wird nun die Temperatur innerhalb des Gefäßes erhöht, beginnen sich die Teilchen schneller zu bewegen, was dazu führt, dass die Teilchen heftiger gegen die Wand stoßen. Bei der isochoren Zustandsänderung hat sich aufgrund der starren Wände der Druck erhöht. Bei der isobaren Zustandsänderung werden sich nun die Wände verschieben und damit das Volumen des Gefäßes vergrößern. Das führt dazu, dass der Druck konstant bleibt. Die Teilchen stoßen zwar auch mit größerer Geschwindigkeit an die Gefäßwand, aber sie tun das seltener (wegen der größeren Entfernung) und damit ist der Impulsübertrag weiterhin konstant. Sinkt die Temperatur wieder auf den Anfangszustand zurück, so zieht sich die Luft wieder zusammen und die Wände nehmen wieder die Ausgangsposition ein.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isobare Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat. Dabei werden die Gleichungen aus der Übersicht des Oberkapitels verwendet und nur diejenigen Gleichungen aufgeführt, welche einer Änderung unterliegen.

Thermische Zustandsgleichung

Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit

$pV = m \; R_i \; T$   bzw.    $pV = n \; R \; T$.


Bei einer isobaren Zustandsänderung ist der Druck $p$ konstant, das Volumen $V$ und die Temperatur $T$ hingegen nicht. Demnach gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen

Methode

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$p V_1 = m \; R_i \; T_1$     bzw.    $p V_1 = n \; R \; T_1$ .

$p V_2 = m \; R_i \; T_2$     bzw.    $p V_2 = n \; R \; T_2$ .


und das Gesetz von Gay-Lussac (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit $p = const$:

Methode

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$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Volumenänderungsarbeit

Bei der Formel für die innere Energie für ein geschlossenes System

$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$

ist bei der isobaren Zustandsänderung mit $p = const$ der Term $W_V = -\int p \; dV $ (= Volumenänderungsarbeit) betroffen. Da der Druck konstant ist, fällt das Integral weg und es bleibt:

Methode

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$W_V = - p (V_2 - V_ 1) = p(V_1 - V_2)$.

Man kann hier die thermische Zustandsgleichung einsetzen:

Methode

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$W_V = p(V_1 - V_2) = m \; R_i \; (T_1 - T_2)$

bzw.

$W_V = p(V_1 - V_2) = n \; R \; (T_1 - T_2)$.


Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich in der unteren Grafik um Arbeit, welche vom System abgegeben wird und demnach negativ ist.

Isobare Zustandsänderung pV-Diagramm
Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm

Innere Energie/ Enthalpie/ Wärme

Die Gleichung für die innere Energie ist wie folgt:

Methode

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$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss}$


Die Gleichung für die Enthalpie ändert sich, weil der Druck $p$ konstant ist. Es ergibt sich demnach:

Methode

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$H_2 - H_1 = Q + W_{diss} $


Man kann $H_2 - H_1$ auch kalorisch ausdrücken mit:

Methode

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$H_2 - H_1 = m \; c_{pm} \; (T_2 - T_1)$.


Damit ist die Wärme für einen irreversiblen Prozess:

Methode

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$Q = H_2 - H_1 - W_{diss} = m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1) - W_{diss}$    


Handelt es sich um einen reversiblen Prozess, so ist $W_{diss} = 0$ und damit:

Methode

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$Q = H_2 - H_1 =  m \; c_{pm}|_{T_1}^{T_2} (T_2 - T_1)$ .        

Entropie

Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dH - V \; dp}{T}$.


Da der Druck konstant ist, wird $-V \; dp = 0$, daraus folgt:

$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dH}{T} = \int_1^2 \frac{m \; c_p \; dT}{T}$.


Integriert ergibt das ganze:

Methode

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$S_2 - S_1 = m \; c_{pm} \;  \ln{\frac{T_2}{T_1}}$.

Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als

$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.

Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isobare) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$. In dem Falle der isobaren Zustandsänderung ist diese Fläche auch gleichzeitig die Änderung der Enthalpie $H_2 - H_1$. Der Grund liegt darin, dass die Druckänderungsarbeit $W_t^{rev}$ wegfällt und damit die Gleichung

$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss}$

nun folgendermaßen aussieht:

$H_2 - H_1 = Q + W_{diss}$.

Isobare Zustandsänderung TS-Diagramm
Isobare Zustandsänderung im T,S-Diagramm

Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch $W_{diss}$ weg und damit ist:

$Q = H_2 - H_1$


Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = 0$:

$W_{diss} = H_2 - H_1$

Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = W_{diss} = 0$:

$H_2 - H_1 = 0$

Merke

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Bei der isobaren Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isobaren nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Änderung der Enthalpie.