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Handelt es sich um eine isotherme Zustandsänderung so ist damit gemeint, dass die Temperatur $T$ konstant bleibt:
$T = const \; \rightarrow \; \triangle T = 0$.
Beispiel
Was passiert bei einer isothermen Zustandsänderung?
Bei der isothermen Zustandsänderung wird die Temperatur konstant gehalten. Es wird ein Kolben betrachtet, in welchem sich Luft befindet. Das Volumen, der Druck und die Temperatur nehmen einen bestimmten Wert an. Es soll sich hierbei um einen nicht-adiabten Kolben handeln. Das bedeutet, dass Wärme an die Umgebung abgegeben wird. Die Temperatur entspricht demnach zunächst der Umgebungstemperatur. Nun wird die Luft innerhalb des Kolbens verdichtet (der Kolben wird zusammengedrückt). Das bedeutet, dass sich das Behältervolumen verringert. Die Luft hat nun weniger Platz zur Verfügung, was dazu führt, dass der Druck ansteigt. Die Temperatur steigt ebenfalls an. Aufgrund des nicht-adiabten Systems wird die Luft irgendwann wieder die Temperatur der Umgebung annehmen, also die Ausgangstemperatur. Grund dafür ist die Wärme, die über die Systemgrenzen entweichen kann. Wir möchten aber die Temperatur gar nicht erst ansteigen lassen, sondern konstant bei der Anfangstemperatur belassen. Um nun also den Temperaturanstieg zu verhindern kann z.B. der Kolben mit einem Kältereservoir in Verbindung gebracht werden, welcher der Luft sofort die gesamte Wärme entzieht, so dass die Umgebungstemperatur der Luft beibehalten wird.
Nachfolgend ist die isotherme Zustandsänderung anhand eines Kolbens demonstriert:
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, was eine isotherme Zustandsänderung für Auswirkungen auf die Zustandsgrößen hat.
Thermische Zustandsgleichung
Die thermische Zustandsgleichung gilt für alle idealen Gase und ist allgemein gegeben mit
$pV = m \; R_i \; T$ bzw. $pV = n \; R \; T$.
Bei einer isothermen Zustandsänderung ist die Temperatur $T$ konstant, das Volumen $V$ und der Druck $p$ hingegen nicht. Demnach gelten die zwei thermischen Zustandsgleichungen
Methode
$p_1 V_1 = m \; R_i \; T$ bzw. $p_1 V_1 = n \; R \; T$ .
$p_2 V_2 = m \; R_i \; T$ bzw. $p_2 V_2 = n \; R \; T$ .
und das Gesetz von Boyle und Mariotte (Abschnitt Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes) mit $T = const$:
$pV = const$.
Für den Vergleich von zwei Volumina bzw. Drücken gilt dann:
Methode
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$
p,V-Diagramm
Im p,V-Diagramm verläuft die Isotherme wie eine gleichseitige Hyperbel. Das bedeutet die p-Achse (y-Achse) und die V-Achse (x-Achse) stellen die Asymptoten dar:
$pV = const$.
Mathematisch ausgedrückt:
$xy = const$.
Die Ableitung von $pV = const$ führt zu:
$p dV + dp V = 0$
$\rightarrow \; \frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}$.
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass man die Tangente, welche durch den Zustand 1 geht, leicht zeichnen kann. Vom Punkt $V_1$ aus wird in Richtung der positiven $V$-Achse eine Strecke der Länge $V_1$ eingezeichnet (schwarze Linie). Außerdem wird vom Punkt $V_1$ aus eine Strecke mit der Länge $p_1$ durch den Zustand 1 gezeichnet (gestrichelte Linie). Die Tangente ist dann diejenige Strecke, welche durch den Zustand 1 und durch den Endpunkt der schwarzen Strecke verläuft. Es handelt sich hierbei um ein rechtwinkliges Dreieck. Man kann die Tangente also auch mittels Satz des Pythagoras bestimmen:
Methode
$\text{Tangente} = \sqrt{p_1^2 + V_1^2}$
oder man verwendet die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens, wenn man herausfinden möchte, wie groß die Winkel sind.
Volumenänderungsarbeit
Die Volumenänderungsarbeit für ein geschlossenen System ist mit $T = const$:
Methode
$W_V = - \int_1^2 p \; dV$.
Es ändert sich also nichts an der Volumenänderungsarbeit, da sowohl $p$ als auch $V$ nicht konstant sind.
Man kann die thermische Zustandsgleichung, aufgelöst nach $p$, in die Volumenänderungsarbeit $W_V$ einsetzen:
$p = \frac{ m \; R_i \; T}{V}$ bzw. $p = \frac{ n \; R \; T}{V}$.
Eingesetzt ergibt sich:
$W_V = - \int_1^2 m \; R_i \; T\frac{dV}{V}$.
Da in dieser Gleichung $T$ konstant ist ($m$ und $R_i$ sind sowieso konstant) kann man das Integral wie folgt auflösen:
$W_V = - m \; R_i \; T \; (\ln(V_2) - \ln(V_1))$
$\rightarrow W_V = m \; R_i \; T (\ln(V_1) - \ln(V_2))$.
Methode
$\rightarrow \; W_V = m \; R_i \; T \; \ln \frac{V_1}{V_2}$.
Setzt man nun für $m \; R_i \; T$ stattdessen $p_1V_1$ ein (denn $p_1V_1 = mR_iT$), und für $\ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \frac{p_2}{p_1}$ (denn nach dem Gesetz von Boyle und Mariotte gilt $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$), so ergibt sich:
Methode
$\rightarrow \; W_V = p_1 V_1 \ln \frac{p_2}{p_1}$.
Die Volumenänderungsarbeit $W_V$ lässt sich im p,V-Diagramm darstellen und ist die Fläche unter der Kurve zur horizontalen Achse ($V$-Achse). Es handelt sich bei der Volumenänderungsarbeit um Arbeit, welche vom System abgegeben wird und demnach negativ ist.
Innere Energie / Enthalpie / Wärme
Bei der iosthermen Zustandsänderung $T = const$ ändert sich die innere Energie und die Enthalpie nicht, da diese temperaturabhängig sind:
$U_2 - U_1 = \int_1^2 m \; c_v \; dT = 0$
und
$H_2 - H_1 = \int_1^2 m \; c_p \; dT = 0$.
Merke
Die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie ist bei der isothermen Zustandsänderung gleich Null.
Daraus folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der inneren Energie:
$U_2 - U_1 = Q + W_V + W_{diss} = 0$.
Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:
Methode
$Q = -W_V - W_{diss}$.
Für einen reversiblen Prozess mit $W_{diss} = 0$ ergibt sich:
Methode
$Q = -W_V$ .
Es folgt für die Berechnung der Wärme aus der Formel für die Änderung der Enthalpie:
$H_2 - H_1 = Q + W_t^{rev} + W_{diss} = 0$.
Für einen irreversiblen Prozess ergibt sich damit für die Wärme:
Methode
$Q = -W_t^{rev} - W_{diss}$.
Für einen reversiblen Prozess mit $W_{diss} = 0$ ergibt sich damit für die Wärme:
Methode
$Q = -W_t^{rev}$.
Merke
Bei der isothermer Zustandsänderung muss bei zugeführter Arbeit genau die gleiche Höhe an Wärme wieder abgegeben werden bzw. bei abgegebener Arbeit die gleiche Höhe in Form von Wärme wieder zugeführt werden.
Entropie
Bei der Entropie ändert sich die folgende Formel:
$\triangle S = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.
Da $T = const$ kann man das Integral wie folgt auflösen:
$\triangle S = S_2 - S_1 = \frac{Q + W_{diss}}{T}$.
Wie bereits oben erwähnt ist aufgrund der konstanten Temperatur die Änderung der inneren Energie und die Enthalpieänderung gleich Null. Die Formeln für die Entropie sehen wie folgt aus:
$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dU + p \; dV}{T} = \int_1^2 \frac{p \; dV}{T}$.
Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung (nach $p$ aufgelöst):
$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{ m\; R_i \; T \; dV}{V \; T}$.
Alle konstanten vor das Integral ziehen ($m$, $R_i$, $T$):
$S_2 - S_1 = m \; R_i \int_1^2 \frac{dV}{V}$.
Integral auflösen ergibt die Änderung der Entropie mittels Volumenverhältnis:
Methode
$S_2 - S_1 = m \; R_i \; \ln(V_2) - \ln(V_1) = m \; R_i \; \ln (\frac{V_2}{V_1})$.
Einsetzen des Gesetzes von Boyle und Mariotte $\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$ ergibt die Änderung der Entropie mittels Druckverhältnis:
Methode
$S_2 - S_1 = m \; R_i \; \ln (\frac{p_1}{p_2})$.
Die Entropie lässt sich in einem T,S-Diagramm darstellen. Die Entropie kann auch geschrieben werden als
$\int T \; dS = Q + W_{diss}$.
Da $T$ konstant ist, fällt das Integral weg:
$T(S_2 - S_1) = Q + W_{diss}$.
Dabei ist allgemein gesehen die Fläche unter der Kurve (Isobare) zur $S$-Achse die Summe aus Wärme $Q$ und Dissipationsarbeit $W_{diss}$. In dem Falle der isothermen Zustandsänderung ist diese Fläche auch gleichzeitig die reversible technische Arbeit $W_t^{rev}$ (beim offenen System) sowie die Volumenänderungsarbeit $W_V$ (beim geschlossenen System). Das bedeutet also, dass die Fläche unter der Kurve im T,S-Diagramm genau so groß ist, wie die Flächen im p,V-Diagramm. Der Grund dafür liegt darin, dass die Änderung der inneren Energie und die Änderung der Enthalpie gleich Null sind und die Gleichungen dann folgendermaßen aussehen:
$Q + W_{diss} = -W_V = T(S_2 - S_1)$.
$Q + W_{diss} = -W_t^{rev} = T(S_2 - S_1)$.
Handelt sich um einen reversiblen Prozess so fällt auch $W_{diss}$ weg und damit ist:
$Q = -W_V = - W_t^{rev}$
Handelt es sich hingegen um einen irreversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = 0$:
$W_{diss} = -W_V = - W_t^{rev}$
Handelt es sich um einen reversiblen adiabaten Prozess so gilt $Q = W_{diss} = 0$:
$-W_V = -W_t^{rev} = 0$
Merke
Bei der isothermen Zustandsänderung ist im T,S-Diagramm die Fläche unter der Isothermen nicht nur die Summe aus Wärme und Dissipationsenergie (bei einem irreversibler Prozess in einem nicht adiabaten System) sondern ebenfalls die Volumenänderungsarbeit (geschlossenes System) sowie die Druckänderungsarbeit (offenes System).
