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Exponentielle Glättung erster Ordnung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die exponentielle Glättung erster Ordnung prognostiziert anhand des realen [$ x_t $] und eines prognostizierten Absatzwertes der Gegenwart [ $ S_t  $] den Absatzwert für die Folgeperiode [$ S_{t+1} $]. Zur Gewichtung des Einflusses von realem und prognostizierten Absatzwert der Gegenwart verwendet man einen Glättungsfaktor $\alpha $. $\alpha$ liegt zwischen $[0 - 1]$.  

Die exponentielle Glättung erster Ordnung wird mit Hilfe der folgenden Formel berechnet:

Methode

$ S_{t+1} = \alpha \cdot x_t + (1- \alpha) \cdot S_t $     exponentielle Glättung 1. Ordnung

Die exponentielle Glättung erster Ordnung ist ein fortschreibendes Verfahren, bei dem zu Beginn immer ein Startwert $ x_0 $ steht. 

Anwendungsbeispiel: Exponentielle Glättung erster Ordnung

Beispiel

Den Analysten eines Autoherstellers liegt folgende Tabelle [unten] vor. Fünf Perioden lang hat man die realen Absatzwerte eingetragen.
Bestimme mit Hilfe der exponentiellen Glättung erster Ordnung für die Perioden 2 - 6 die Prognosewerte und ermittle zudem den Prognosefehler für die Perioden 2-5
Der Glättungfaktor $\alpha $ sei $ 0,3 $. Alle errechneten Werte sind anschließend in die Tabelle einzutragen!
Periode Absatz Fahrzeuge (real) Absatz Fahrzeug (prognostiziert) Prognosefehler
1 70.000 0 0
2 80.000
3 78.000
4 82.000
5 84.000
6

Bestimmung der Prognosewerte

$ S_1 $

Zuerst beginnen wir mit der Periode 1. Diese Periode ist die Startperiode und besitzt daher weder Prognosewert noch Prognosefehler

Weiter geht es mit der Periode 2. Hier lässt sich sowohl eine Prognosewert als auch ein Prognosefehler berechnen. 

$ S_2  = 0,3 \cdot 70.000 + 0,7 \cdot 70.000 = 70.000 $

Da in Periode 1 selbst kein Prognosewert errechnet wurde, kann für die Berechnung des Prognosewertes für Periode 2 nur der Realwert der Periode 1 als Prognosewert der Periode 1 angenommen werden. Dies ändert sich jedoch nach der Bestimmung des ersten Prognosewertes [ in diesem Fall, nach Periode 2]

$ S_3 = 0,3 \cdot 80.000 + 0,7 \cdot 70.000 =  73.000 $

$ S_4 = 0,3 \cdot 78.000 + 0,7 \cdot 73.000 = 74.500 $

$ S_5 = 0,3 \cdot 82.000 + 0,7 \cdot 74.500 = 76.750 $

$ S_6 = 0,3 \cdot 84.000 + 0,7 \cdot 76.750 = 78.925 $

Prognosefehler

Nachdem alle prognostizierten Absatzwerte berechnet wurden, kann nun der Prognosefehler für die Perioden 2-5 berechnet werden. 

Der Prognosefehler setzt sich aus der Differenz von realem Absatzwert abzüglich prognostiziertem Absatzwert dividiert durch den realen Absatzwert. Die Angabe des Prognosefehlers erfolgt in Prozent.

$ f_1 = 0 $

$ f_2 = \frac{|80.000-70.000|}{80.000} \cdot 100 = 12,50 % $ 

$ f_3 = \frac{|78.000-73.000|}{78.000} \cdot 100 = 6,41 %  $

$ f_4 = \frac{|82.000-74.500|}{82.000}\cdot 100 = 9,15 % $

$ f_5 = \frac{|84.000-76.750|}{84.000}\cdot  =  8,63 % $

Nachdem alle Werte berechnet wurden,  können diese auch in die Tabelle eingetragen werden.

Periode Absatz Fahrzeuge (real) Absatz Fahrzeug (prognostiziert) Prognosefehler
1 70.000 0 0
2 80.000 70.000 12,50
3 78.000 73.000 6,41
4 82.000 74.500 9,15
5 84.000 76.750 8,63
6 78.925

Der Prognosefehler ist zu Beginn sehr hoch, nimmt dann in der 3. Periode ungefähr um die Hälfte ab und nimmt dann wieder ein wenig zu. 

Die exponentielle Glättung versucht die Prognosefehler zu minimieren. Das geschieht, indem aus den realen (tatsächlichen) Nachfragewerten (hier: Periode 1-5) mittels exponentieller Glättung prognostizierte Nachfragewerte ermittelt werden. Es wird dann der Prognosefehler bestimmt, welcher durch dieses Verfahren entsteht und in den darauffolgenden Perioden immer weiter minimiert. Für den zu prognostizierenden nicht bekannten Nachfragewert der Periode 6 wurde der Prognosefehler dann versucht so weit zu minimieren, dass die Schätzung dem tatsächlichen Nachfragewert immer näher rückt. Ob die Prognose in Periode 6 dann tatsächlich einen geringeren Prognosefehler aufweist kann erst sicher gesagt werden, wenn der reale Wert vorliegt. In dem obigen Beispiel sind "nur" 5 Perioden betrachtet worden. Angenommen es handelt sich hierbei um die Betrachtung von monatlichen Absätzen, dann ist die Anzahl der Perioden (=Monate) nicht ausreichend um eine genaue Schätzung zu erreichen, da saisonale Schwankungen eines Jahres noch nicht erfasst sind. Das Verfahren eingnet sich also bei Vorliegen einer Vielzahl an Vergangenheitswerten aus mehreren Jahren.

Lückentext
Periode Nachfrage (real)
1 10.000
2 25.000
3 15.000

mit $\alpha = 0,2$.

Berechne den Prognosewert für die 4.Periode nach dem Verfahren der exponentiellen Glättung 1. Ordnung!

$S_4$ =
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Exponentielle Glättung erster Ordnung

  • Jessica Scholz schrieb am 15.07.2015 um 08:19 Uhr
    Hallo Herr/Frau Weiße, vielen Dank für den Hinweis. Die Korrektur ist vorgenommen worden. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Weiße schrieb am 14.07.2015 um 15:07 Uhr
    Hier ein Fehler bei der Berechnung der Prognosefehler f3: Falscher Wert statt 70000 müssen hier 73000 als prognostizierter Absatz eingesetzt werden...
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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Exponentielle Glättung erster Ordnung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Produktion.

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