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Produktion - Gesamtkosten, Grenzkosten, Durchschnittskosten

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Produktion

Gesamtkosten, Grenzkosten, Durchschnittskosten

Dieser Kurstext behandelt die GesamtKosten, Grenzkosten und Durchschnittskosten. Auf jede Kostenart gehen wir nacheinander ein. 

Gesamtkosten

Die Gesamtkosten stellen die Summe aus fixen und variablen Kosten dar. Diese Kostenfunktion $K(x)$ setzt sich also aus den fixen Kosten $K_f$ und den variablen Kosten $K_v$ zusammen. 

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Nehmen wir an, dass ein Unternehmen ein Produkt $x_1$ produziert. Zur Herstellung dieses Produktes werden 2 Inputfaktoren $r_1$ und $r_2$ benötigt. Die Kosten für die Beschaffung dieser Inputfaktoren werden bezeichnet mit $q_1$ und $q_2$. Die Kostenfunktion sieht dann wie folgt aus:

$K(x) = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1) + K_f$

mit $K_v = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1)$

Merke

Gesamtkosten: $K(x) = K_v + K_f$

Beispiel

Das Unternehmen aus dem vorherigen Beispiel benötigt zur Produktion der Fußbälle zwei Inputfaktoren. Das sind eine Einheit Gummi $r_1= 1$ und zwei Einheiten Leder $r_2 = 2$. Die Kosten für eine Einheit Gummi betragen $q_1 = 0,5 €$ und für eine Einheit Leder $q_2 = 0,75 €$. Die Fixkosten betragen 50.000 €. Wie sieht die Kostenfunktion aus?

$K_v = q_1r_1(x_1) + q_2r_2(x_1) = 2$ €/Stück

$K_f = 50.000 €$

$K(x) = 2x + 50.000$

Grenzkosten

Grenzkosten (oder auch Marginalkosten) sind diejenigen Kosten, die durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit anfallen. 

Beispiel

Gegeben sei das obige Beispiel. 

Bei einer Produktion von 10.000 Fußbällen hat das Unternehmen Kosten in Höhe von $K(x) = 70.000 €$, produziert das Unternehmen 10.001 Fußbälle steigen die Kosten auf $K(x) = 70.002 €$, bei 10.002 Stück betragen die Kosten $K(x) = 70.004 €$ usw.

Die Grenzkosten sind die Kosten die anfallen, wenn eine Einheit mehr produziert wird. In diesem Beispiel also 2 €.

Mathematisch errechnen sich die Grenzkosten durch die Ableitung der Kostenfunktion nach $x$:

$K(x) = 2x + 50.000$

$K´(x) = 2$

Merke

Grenzkosten: $K´(x)$

Sinkende Grenzkosten

Unternehmen mit hohen Fixkosten tendieren in der Regel zur Produktion einer großen Stückzahl. Grund ist die Verteilung der Fixkosten auf eine hohe Menge, aber auch beispielsweise die Ausnutzung von Rabatten für Inputfaktoren. Letzteres führt dazu, dass die Grenzkosten fallen.

In dem obigen Beispiel liegen die Grenzkosten konstant bei $2 €$ pro Stück. Also mit jedem produzierten Fußball steigen die Kosten um $2 €$ an. Nehmen wir nun an, dass das Unternehmen ab einer Produktion von 20.000 Fußbällen einen Rabatt bei dem Zulieferer des Leders erhält. Das Leder kann nun für $q_2´= 0,5 €$  statt $q_2 = 0,75 €$ eingekauft werden. Das bedeutet nun, dass seine Kostenfunktion und seine Grenzkosten wie folgt aussehen:

$K(x) = 1,5x + 50.000$

$K´(x) = 1,5$

Ab einer Produktion von 20.000 Fußbällen betragen die Grenzkosten nur noch $1,5 €$ statt $2 €$. 

Steigende Grenzkosten

Es kann auch sein, dass ab einer bestimmten Menge die Grenzkosten wieder ansteigen. Dies ist der Fall, wenn die Produktion an ihre Kapazitäten stößt. Etwa dann, wenn der Lieferant für Leder nicht mehr als 40.000 Einheiten an Leder liefern kann. Es müsste also ein neuer Lieferant gesucht werden. Angenommen das Unternehmen möchte aufgrund der gestiegenen Nachfrage 30.000 Fußbälle produzieren. 25.000 der Fußbälle kann der alte Lieferant für Leder abdecken, für 5.000 Fußbälle hingegen wird ein neuer Lederlieferant herangezogen mit einem Preis je Einheit von $q_2(neu) = 1 €$. 

Die Kostenfunktion für die 5.000 Fußbälle sieht wie folgt aus:

$K(x) = 2,5 € + 50.000$

$K´(x) = 2,5$

Der Grenzkostenverlauf ist also wie folgt:

Unter 20.000 Stück = 2 €                       (alter Lieferant ohne Rabatt)

20.000 - 25.000 Stück = 1,5 €                (alter Lieferant mit Rabatt)

Weitere Fußbälle  = 2,5 €                        (neuer Lieferant)

Durchschnittskosten

Die Durchschnittskosten (oder auch Stückkosten) sind die durchschnittlichen Kosten pro Stück. Berechnet werden diese indem die Kosten durch die produzierte Menge dividiert werden. 

Merke

Durchschnittskosten: $k(x) = \frac{K(x)}{x}$

Wir nehmen wieder das Beispiel von oben.

Beispiel

Zunächst betrachten wir die Durchschnittskosten für eine Produktion von 20.000 Fußbällen. Die Kosten für 1 Einheit Gummi betragen $q_1 = 0,5 €$ und für 1 Einheit Leder $q_2 = 0,75 €$. Die Fixkosten betragen 50.000 €. Es werden 1 Einheit Gummi und 2 Einheiten Leder für die Produktion eines Fußballes benötigt. die Kostenfunktion ergibt sich also zu:

$K(x) = 2x + 50.000 $

mit $x = 20.000$ ergeben sich also Gesamtkosten in Höhe von 90.000 €. Die Kosten pro Stück berechnen sich dann:

$k(x) = \frac{90.000 €}{20.000 Stk} = 4,5 €/Stk$.

Je mehr produziert wird, desto geringer sind die durchschnittlichen Kosten. Grund dafür ist die Verteilung der Fixkosten auf eine größere Menge (Fixkostendegression). Die durchschnittlichen Kosten können aber auch wieder ansteigen. Wenn zum Beispiel die Produktion an ihre Grenzen stößt und z.B. die Inputfaktoren bei einem neuen teureren Lieferanten bezogen werden müssen, weil der alte die geforderte Menge nicht produzieren kann. Dann steigen die variablen Kosten.

Es kann natürlich ebenfalls sein, dass die Produktion solcher Mengen das Unternehmen selbst an ihre Kapazitätsgrenze bringt. So muss zum Beispiel eine neue Lagerhalle, eine neue Maschine und/oder neue Mitarbeiter angeschafft werden, damit die Produktion überhaupt möglich ist. Dann steigen die fixen Kosten an.

Beispiel

Angenommen das Unternehmen möchte nun 21.000 Fußbälle produzieren. Der Lederlieferant und auch der Gummilieferant können weiterhin zu den obigen Preisen liefern. Allerdings reicht die bisherige Lagerhalle nicht mehr aus. Es muss eine neue Lagerhalle gemietet werden. Die Fixkosten steigen um 10.000 € an:

$K(x) = 2x + 60.000 $

Die Gesamtkosten betragen:

$K(21.000) = 2 \cdot 21.000 + 60.000 = 102.000 €$.

Die Kosten pro Stück sind dann:

$k(21.000) = \frac{102.000}{21.000} = 4,86 €$.

Die durchschnittlichen Kosten sind gestiegen aufgrund der Erhöhung der Fixkosten durch die neue Lagerhalle. 

Beispiel

Wieviel müsste das Unternehmen jetzt produzieren um wieder durchschnittliche Kosten von 4,5€/stk zu erreichen?

$k(x) = \frac{K(x)}{x}$

mit

$k(x) = 4,5 €$

$K(x) = 2x + 60.000$

Einsetzen ergibt:

$4,5€ = \frac{2x+60.000}{x}$

$4,5 € = 2 + \frac{60.000}{x}$                |$-2$

$2,5€ = \frac{60.000}{x}$                       |$\cdot x$

$2,5€ \cdot x = 60.000$                           | $: 2,5€$

$x = 24.000 Stk$

Das Unternehmen muss 24.000 Stück produzieren, damit die durchschnittlichen Kosten wieder bei 4,5 € liegen.