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Produktion - Arten von Kostenfunktionen

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Produktion

Arten von Kostenfunktionen

In diesem Abschnitt werden drei Arten von Kostenfunktionen aufgeführt: Die lineare, degressive und progressive Kostenfunktion.

Lineare Kostenfunktion

Bei der linearen Kostenfunktion steigen die variablen Kosten proportional zur produzierten Menge. Die variablen Stückkosten bleiben (unabhängig von der Menge) konstant und sind gleich der Grenzkosten.

Methode

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Die allgemeine Form der linearen Kostenfunktion lautet:

$K(x)=k_v*x+K_f$

Beispiel

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Ein Unternehmen hat die folgende Kostenfunktion:

$K(x) = 100x + 500$

Hierbei handelt es sich um eine lineare Kostenfunktion. Bei der Produktion von 1 Menge betragen die variablen Kosten 100 € und bei der Produktion von 2 Mengen 200 €. Bei Erhöhung der Produktionsmenge um 100% steigen die variablen Kosten um 100% an. Die variablen Kosten nehmen also proportional zur produzierten Menge zu.

Die variablen Durchschnittskosten $DKV = k_v$ betragen (egal welche Menge produziert wird):

$k_v(x) = \frac{100x}{x} = 100$.

Die Grenzkosten $GK = K´(x)$ betragen:

$K´(x) = 100$.

und sind damit gleich der variablen Stückkosten. 

Die gesamten durchschnittlichen Kosten $DK = k(x)$ betragen:

$k(x) = 100 + \frac{500}{x}$.

Das bedeutet, dass mit steigender Produktion die durchschnittlichen Kosten sinken und immer weiter den Grenzkosten und durchschnittlichen variablen Kosten annähern ($\frac{500}{x}$ strebt gegen Null). Grund dafür ist die Verteilung der Fixkosten auf die Menge (Fixkostendegression).

Lineare Kostenfunktion
Lineare Kostenfunktion

Degressive Kostenfunktion

Eine degressive Kostenfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass mit steigender Produktion die variablen Kosten nur unterproportional zunehmen. Die variablen Stückkosten verringern sich somit bei steigender Ausbringungsmenge. Beispiele hierfür können gewährte Rabatte bei hoher Mengenabnahme sein. 

Methode

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Die allgemeine Form der degressiven Kostenfunktion lautet:

$K(x)=k_v*x^{\frac {c}{a}}+K_f$

Beispiel

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Ein Unternehmen hat die folgende Kostenfunktion:

$K(x) = 100\sqrt{x} + 500$.

Hierbei handelt es sich um eine degressive Kostenfunktion. Bei der Produktion von 1 Menge betragen die variablen Kosten 100 € und bei der Produktion von 2 Mengen 141 €.  Bei Erhöhung der Produktionsmenge um 100% steigen die variablen Kosten um 41% an. Die variablen Kosten nehmen also unterproportional zur produzierten Menge zu.

Die variablen Durchschnittskosten $DKV = k_v$ betragen:

$k_v(x) = \frac{100\sqrt{x}}{x} = \frac{100}{\sqrt{x}}$.

Das bedeutet, mit steigender Produktionsmenge sinken die variablen Stückkosten.

Die Grenzkosten $GK = K´(x)$ betragen:

$K´(x) = \frac{50}{\sqrt{x}}$.

Auch die Grenzkosten sinken mit steigender Produktionsmenge.

Die gesamten durchschnittlichen Kosten $DK = k(x)$ betragen:

$k(x) = \frac{100}{\sqrt{x}} + \frac{500}{x}$.

Das bedeutet, dass mit steigender Produktion die durchschnittlichen Kosten sinken. Grund dafür ist die Verteilung der Fixkosten auf die Menge (Fixkostendegression).

Degressive Kostenfunktion
Degressive Kostenfunktion

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Grenzkosten GK unter den durchschnittlichen variablen Kosten DVK liegen. Beide sinken mit steigender Produktionsmenge.

Progressive Kostenfunktion

Eine progressive Kostenfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass mit steigender Produktion die variablen Kosten überproportional zunehmen. Die variablen Stückkosten erhöhen sich somit bei steigender Ausbringungsmenge. Beispiele hierfür können Kapazitätsengpässe sein.

Methode

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Die allgemeine Form der progressiven Kostenfunktion lautet:

$K(x)=k_v*x^a+K_f$ , mit $a>1$

Beispiel

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Ein Unternehmen hat die folgende Kostenfunktion:

$K(x) = 100 x^2 + 500$.

Hierbei handelt es sich um eine progressive Kostenfunktion. Bei der Produktion von 1 Menge betragen die variablen Kosten 100 € und bei der Produktion von 2 Mengen 400 €.  Bei Erhöhung der Produktionsmenge um 100% steigen die variablen Kosten um 300 % an. Die variablen Kosten nehmen also überproportional zur produzierten Menge zu.

Die variablen Durchschnittskosten $DKV = k_v$ betragen:

$k_v(x) = \frac{100x^2}{x} = 100x$.

Das bedeutet, mit Erhöhung der Produktionsmenge steigen die variablen Stückkosten.

Die Grenzkosten $GK = K´(x)$ betragen:

$K´(x) = 200x$.

Auch die Grenzkosten steigen mit Erhöhung der Produktionsmenge.

Die gesamten durchschnittlichen Kosten $DK = k(x)$ betragen:

$k(x) = 100x + \frac{500}{x}$.

Progressive Kostenfunktion
Progressive Kostenfunktion

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die durchschnittlichen Kosten (DK) erst fallen und dann steigen. Ihr Minimum erreichen sie mit dem Schnittpunkt der Grenzkosten, also bei:

$DK = GRK$

$100x + \frac{500}{x} = 200x$

$x = 2,24$.