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Substitutionalität

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Diese Eigenschaft liegt vor, wenn es möglich ist einen Faktor durch einen anderen zu ersetzen, ohne dass es zu einer Verringerung des Outputs kommt. 

So ist es im Verlauf der letzten Jahrzehnte oft zu Substitutionen in verschiedenen Bereichen der Produktion gekommen. Nicht selten wird menschliche Arbeit durch Maschinen ersetzt. Auch im Bereich der Verbrauchsfaktoren sind Substitutionen üblich. So kann für die Erzeugung von Strom, Kraft oder Wärme, anstelle des dafür notwendigen Energieträgers Kohle alternativ Gas oder Erdöl eingesetzt werden, ohne dass dies Einfluss auf das Endprodukt hat. 

Substitutionalität lässt sich auch grafisch darstellen:

Isoquanten
Isoquanten

Im obigen Bild sind Isoquanten eingezeichnet. Diese Isoquanten sind Linien des gleichen Outputs, d.h. jeder beliebige Punkt auf einer dieser Linien liefert identischen Output. Die Linien stellen  jeweils eine Einprodukt-Zweifaktoren-Produktionsfunktion dar. Diese hat die Form

$\ x = f(r_1, r_2) $.

Einziger Unterschied zwischen den Linien ist die Höhe des Outputs mit $ x^1, x^2 $ und $ x^3 $. 

Die Frage ist nun, welche Erkenntnis lässt sich aus diesen Isoquanten gewinnen? 

Möchte man den Output $ x^1 $ erhalten, so kann man den Input entlang der Isoquante variieren. Reduziert man den Faktor $ r_1 $ um $\triangle r_1 $ so muss der Faktor $ r_2 $ und $ \triangle r_2 $ steigen um den gleichen Output zu erhalten.

Grenzrate der Substitution

Die negative Steigung der Isoquanten bezeichnet man als Grenzrate der technischen Substitution. Die Grenzrate der technischen Substitution von Faktor 2 durch Faktor 1 gibt an, auf wie viele Einheiten des Inputfaktors 2 maximal verzichtet werden kann, wenn die Einsatzmenge des Inputfaktors 1 um eine Einheit erhöht wird und der Output konstant bleiben soll.

Grenzrate der Substitution: $s_{12} = \frac{dr_2}{dr_1}$

Beispiel

Gegeben sei die Isoquante: $ x = 10 r_1 + 5 r_2$. Wie ist die Grenzrate der Substitution?

Als erstes wird die Gleichung nach $r_2$ umgestellt:

$r_2 = \frac{1}{5}x^1 - 2 r_1$

Danach wird diese nach $r_1$ abgeleitet:

$\frac{dr_2}{dr_1} = -2$

Das bedeutet nun, dass auf 2 Einheiten des Inputfaktors $r_2$ verzichtet werden kann, wenn die Einsatzmenge des Inputfaktors $r_1$ um eine Einheit erhöht wird um am Ende den gleichen Output zu erhalten.

Grenzrate der Substitution
Grenzrate der Substitution

In diesem Beispiel ist die Grenzrate der Substitution überall gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt (totale Substitution). Für die obige Isoquante ist die Outputmenge $x = 15$ gewählt worden. Der Ausgangspunkt sei $(0,25|2,5)$. Das bedeutet 0,25 Einheiten von $r_1$ und 2,5 Einheiten von $r_2$. Verzichtet man nun auf 2 Einheiten von $r_2$, so muss man 1 Einheit $r_1$ zusätzlich hinzufügen, damit man wieder auf der Isoquante landet und einen Output von 15 Einheiten generiert. Der Punkt ist dann $(1,25|0,5)$.

Es gibt natürlich auch Isoquanten die in jedem Punkt unterschiedliche Steigungen aufweisen. Das soll im nächsten Beispiel gezeigt werden:

Beispiel

Gegeben sei die Isoquante $x = \sqrt{r_1} \cdot \sqrt{r_2}$. Wie ist die Grenzrate der Substitution?

Man kann auch schreiben: $x = r_1^{0,5} \cdot r_2^{0,5}$  

Nach $r_2$ umstellen ergibt:

$r_2^{0,5} = \frac{x}{r_1^{0,5}}$

$r_2 = \frac{x^2}{r_1}$

Ableitung von $r_2$ nach $r_1$ ergibt:

$\frac{dr_2}{dr_1} = -\frac{x^2}{r_1^2}$

Einsetzen von $x = \sqrt{r_1} \cdot \sqrt{r_2}$ in die Ableitung:

$\frac{dr_2}{dr_1} = -\frac{(\sqrt{r_1} \sqrt{r_2})^2}{r_1^2} = - \frac{r_2}{r_1}$

Betrachtet man nun beispielsweise das Bündel $(4,5)$, so erhält man für die Grenzrate:

$\frac{dr_2}{dr_1} = -1,25$. Das bedeutet also, wenn Einheit von $r_1$ hinzufügt wird, so kann auf 1,25 Einheiten von $r_2$ verzichtet werden um den gleichen Output zu erhalten:

$x = \sqrt{r_1} \sqrt{r_2} = \sqrt{4} \sqrt{5} \approx 4$

$x = \sqrt{5} \sqrt{3,75} \approx 4$

$\\$

Video: Substitutionalität

Substitution liegt vor, wenn es möglich ist einen Faktor durch einen anderen zu ersetzen, ohne dass es zu einer Verringerung des Outputs kommt. Zudem ist die Grenzrate der Substitution ein wichtiges Instrument zur Berechnung.

Video: Substitutionalität

Substitution liegt vor, wenn es möglich ist einen Faktor durch einen anderen zu ersetzen, ohne dass es zu einer Verringerung des Outputs kommt. Zudem ist die Grenzrate der Substitution ein wichtiges Instrument zur Berechnung.
Lückentext
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Die negative Steigung der Isoquanten bezeichnet man als der technischen Substitution.
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Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Autor: Jessica Scholz

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Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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