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Produktion

Minimalkostenkombination

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Nachdem die Produktionsfunktion und die Kostenfunktion in den vorherigen Abschnitten erläutert wurden, stellt sich als nächstes die Frage, wie das kostenminimale Produktionsprogramm bestimmt werden kann.

Merke

Stehen einem Unternehmen mehrere Produktionsfaktormengenkombinationen zur Verfügung, um einen bestimmten Output $x$ zu erzielen, so hat es nach dem Rationalprinzip die Preise der Produktionsfaktoren $q_i$ zu berücksichtigen, um so die kostengünstigste Faktorkombination auswählen zu können.

Linear-limitationalen Kostenfunktionen

Die linear-limitatonale Kostenfunktion besitzt bereits eine vorgegeben Faktormengenkombination. Das bedeutet, dass die Kombination der Produktionsfaktoren ($r_1, ... , r_n$) bereits eindeutig und optimal ist und damit mit der Minimalkostenkombination übereinstimmt. 

Substitutionale Kostenfunktion

Bei der substitutionalen Kostenfunktion hingegen, existieren mehrere Möglichkeiten die Einsatzfaktoren ($r_1, ... , r_n$) miteinander zu kombinieren um den gewünschten Output $x$ zu erreichen. 

In der folgender Grafik ist die Isoquante einer substitutionalen Produktionsfunktion mit den beiden Einsatzfaktoren $r_1$ und $r_2$ eingezeichnet. Isoquanten sind Linien des gleichen Outputs, d.h. jeder beliebiger Punkt auf der Linien liefert identischen Output. Das bedeutet, dass dem Unternehmen mehrere Faktorkombinationen zur Verfügung stehen, um das Endprodukt zu erzielen. 

Isoquante einer substitutionalen Produktionsfunktion
Isoquante einer substitutionalen Produktionsfunktion

Unter Berücksichtigung der Preise für die Produktionsfaktoren $q_i$ und den Fixkosten $K_f$ sieht die Kostenfunktion wie folgt aus:

$K = q_1 r_1 + q_2 r_2 + K_f$

mit $K_v = q_1 r_1 + q_2 r_2$

Mit Einbeziehung der Kosten stellt sich die Frage, welche Faktorkombination unter Berücksichtigung der Faktorpreise kostenminimal ist?

Methode

Die Minimalkostenkombination ist die Faktorkombination, die bei gegebenem Output $x$ die geringsten Kosten produziert.

Die Minimalkostenkombination ist also ein Punkt auf der Isoquante bei dem die Faktorkombination so gewählt wird, dass die Kosten minimiert werden. Der Punkt auf der Isoquante ist genau dann eine Minimalkostenkombination, wenn

$\frac{\frac{\partial x}{dr_1}}{\frac{\partial x}{dr_2}} = \frac{q_1}{q_2}$


Beispiel: Minimalkostenkombination

Beispiel

Gegeben sei die substitutionale Produktionsfunktion $x = \frac{1}{4} \sqrt{r_1} r_2$ mit den Faktorpreisen $q_1 = 20$ und $q_2 = 16$. Wie sieht die Faktorkombination aus, für die die Kosten minimal sind?

Ableiten der Produktionsfunktion nach $r_1$ und nach $r_2$:

$\frac{\partial x}{dr_1} = \frac{1}{4} 0,5 r_1^{-0,5}  r_2 $

$\frac{\partial x}{dr_2} = \frac{1}{4} r_1^{0,5}$

Mit den Faktorpreisen gleichsetzen:

$\frac{\frac{\partial x}{dr_1}}{\frac{\partial x}{dr_2}} = \frac{q_1}{q_2}$

$\frac{\frac{1}{4} 0,5 r_1^{-0,5}  r_2}{\frac{1}{4} r_1^{0,5}} = \frac{20}{16}$

$\frac{0,5 r_2}{r_1} = \frac{20}{16}$              |$:0,5$

$\frac{r_2}{r_1} = 2,5 \; \rightarrow r_2 = 2,5r_1$

Das Faktorverhältnis ist also $2,5 : 1$ bzw. $r_2$ ist das 2,5-fache von $r_1$. Geht beispielsweise $r_1$ mit 5 Einheiten in das Produkt ein, so muss $r_2$ mit 12,5 Einheiten in das Produkt eingehen.

Video: Minimalkostenkombination