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Produktion - Leontief-Produktionsfunktion

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Produktion

Leontief-Produktionsfunktion

Die Leontief-Produktionsfunktion ist nach Wassily Leontief benannt und vom Typ B. Die Produktionsfaktoren stehen in einem festen Verhältnis zueinander und in einem festen Verhältnis zum Output. Das bedeutet, dass die Ausbringungsmenge eine Limitation erreicht, wenn die Produktionsfaktoren nicht in ausreichendem Maße zur Verfügung stehen (siehe linear-limitationale Produktionsfunktion). 

Wenn man nun festlegt, dass die Leontief Produktionsfunktion aus nur einem Produktionsverfahren besteht, lässt sie sich für die einstufige Produktion eines Produktes durch das folgende System von Faktorfunktionen darstellen:

$r_1 = a_1 x$

$r_2 = a_2 x$

...

$r_i = a_i x \; (i = 1, ... , m)$

$ a_i $ ist hierbei ein konstanter Produktionskoeffizient. 

Die dazugehörige maximale Produktionsmenge lautet:

$ x = \frac{r_i}{a_i} ( i = 1,...,m) $ 

Beispiel

Für die Produktion von 5 Brötchen ($x$) benötigt man 400g Mehl ($r_1$), 200 ml Wasser ($r_2$), 2 TL Salz ($r_3$) und 10 g Hefe ($r_4$). Weitere Faktoreinsätze werden vernachlässigt.

Es ergeben sich für einen linear-limitationalen Fertigungsvorgang folgenden Faktorfunktionen:

$r_1 = 400 x$,  $r_2 = 200 x$,  $r_3 = 2 x$,  $r_4 = 10 x$

Hieraus lässt sich die maximale Produktionsmenge ableiten:

$ x = \min{\frac{r_i}{a_i}} \; ( i = 1,...,m) $ 

$x = \min{\frac{r_1}{400}, \frac{r_2}{200}, \frac{r_3}{2}, \frac{r_4}{10}}$

Diese Funktion repräsentiert die Produktionsfunktion mit effizientem Endprodukt. Anhand dieser kann nun der Output berechnet werden.

Angenommen folgende Höchsteinsatzmengen für das obige Beispiel sind gegeben:

Beispiel

Höchsteinsatzmengen: 1200 g Mehl, 600 ml Wasser, 6 TL Salz, 20 g Hefe.

Zur Berechnung der maximalen Produktionsmenge benötigt man nun die obige Formel:

$x = \min{\frac{r_1}{400}, \frac{r_2}{200}, \frac{r_3}{2}, \frac{r_4}{10}}$

Nun setzt man für die Faktoreinsätze $r_i$ die Höchstmenge ein und minimiert:

$x = \min{\frac{1200}{400}, \frac{600}{200}, \frac{6}{2}, \frac{20}{10}}$

$x = \min{3, 3, 3, 2}$

Es zeigt sich also, dass sich die Produktionsmenge nach dem Faktor richtet, welcher nach dem Input-Output Verhältnis am geringsten vorhanden ist. Diese Faktor wird auch Engpassfaktor genannt. In diesem Beispiel könnten mit $r_1, r_2, r_3$ der Output verdreifacht werden (also 3x = 15 Brötchen hergestellt werden), allerdings ist die Hefe in diesem Beispiel der Engpassfaktor, der lediglich die Herstellung der doppelten Menge an Brötchen (also 2x = 10 Brötchen) zulässt.

Erst wenn alle Einsatzfaktoren Engpassfaktoren darstellen, ist die effizienteste Kombination gefunden. In diesem Beispiel müsste die Hefe 30g betragen:

$x = \min{3, 3, 3, 3}$

Erst jetzt sind die Faktoreinsätze effizient.