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Regelungstechnik - Übertragungsblock & Wirkungslinie

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Regelungstechnik

Übertragungsblock & Wirkungslinie

Übertragungsblock

Der Übertragungsblock ist der bereits bekannte rechteckige Block in einem Schema, welcher die kausale Abhängigkeit der Ausgangsgröße $ x_{a} $ von der Eingangsgröße $ x_{e} $ verdeutlicht. 

Übertragungsblock
Übertragungsblock

Wirkungslinie

Jede Wirkungslinie steht für jeweils ein Signal, welches entweder in den Übertragungsblock einfließt oder den Übertragungsblock verlässt. Dabei werden Eingangsgrößen durch einen Pfeil in Richtung Übertragungsblock dargestellt und Ausgangsgrößen weisen von dem Übertragungsblock weg. 

Wirkungslinien mit Wirkungsrichtung
Wirkungslinien mit Wirkungsrichtung

Verhalten eines Übertragungsblock

Das Verhalten eines Übertragungsblocks wird auf unterschiedliche Art und Weise funktional dargestellt. Dabei unterscheiden wir

  • Differentialgleichungen für das allgemeine Zeitverhalten des Übertragungssystems
  • Sprungantworten als Reaktion des Systems auf plötzliche Änderungen der Eingangsgrößen
  • Frequenzgangfunktionen als Übertragungsfunktion des Systems, wenn harmonische Eingangsfunktionen vorliegen
  • sowie Übertragungsfunktionen für LAPLACE-transformierte Eingangsgrößen und für z-transformierte Eingangsgrößen.

Wie sich die Darstellung des Verhalten aus diesen Funktionen rein bildlich äußert soll das nachfolgende Beispiel verdeutlichen:

Anschauungsbeispiel:

Bei der nachfolgenden Abbildung handelt es sich um eine Widerstand-Kondensator-Schaltung, oder auch RC-Element genannt, bei der die Spannung von $ u_e = 0 $ auf $ u_{a0} $ gesteigert wird. 

Widerstand-Kondensator-Schaltung
Widerstand-Kondensator-Schaltung

Die für unser weiteres Vorgehen notwendigen Größen sind:

  • $ u_e $ = Eingangsspannung
  • $ u_a $ = Ausgangsspannung
  • $ i $ = Elektrische Stromstärke
  • $ R $ = Widerstand
  • $ C $ = Kapazität
  • $ T $ = Zeitkonstante

Die zugehörigen Gleichungen sind:

  • $ u_e (t) = R \cdot i(t) + u_a (t) \rightarrow $ Gleichung zur Bestimmung der Eingangsspannung [GL1]
  • $ i(t) = C \cdot \frac{du_a (t)}{dt} \rightarrow $ Gleichung zur Bestimmung der elektrischen Stromstärke [GL2]
  • $ T_1 = R\cdot C \rightarrow $ Gleichung zur Bestimmung der Zeitkonstanten [GL3]

Methode

Mit diesen Gleichungen [GL1 - GL3]  formen wir durch Einsetzen nun eine Gleichungen bei der lediglich die Zeitkonstante $ T_1 $ sowie die Eingangsgröße $ u_e(t) $ und die Ausgangsgröße $ u_a(t) $ übrig bleiben. 

Schritt 1: GL2 in GL1 einsetzen:

$u_e (t) = R \cdot  C \cdot \frac{du_a(t)}{dt} + u_a(t) $

Schritt 2: GL3 nach C auflösen und in GL1 einsetzen:

$ u_e (t) = R \cdot (\frac{T_1}{R}) \cdot \frac{du_a(t)}{dt} + u_a(t) $

Schritt 3: R  in GL1 wegkürzen und die Endgleichung ist:

$ u_e (t) = T_1  \cdot \frac{du_a(t)}{dt} + u_a(t)  \rightarrow $ Differentialgleichung

Unabhängig davon ob es sich nun um eine elektrisches oder mechanisches Element handelt, die Differentialgleichungen, Sprungantwortfunktion, Frequenzgang- und Übertragungsfunktion sind strukturell identisch. (Siehe nächstes Beispiel)

Beispiel:

Nachfolgend sehen Sie ein Feder-Dämpfer-Element

Feder-Dämpfer-Element
Feder-Dämpfer-Element

$\rightarrow $ Die Differentialgleichung für ein veränderliches Federelement mit den Federwegen $ s_e $ und $ s_a $ ist:

$  s_e(t) = T_1 \cdot \frac{ds_a (t)}{dt} + s_a(t) $

$\rightarrow $ Wie man sieht stimmt diese Gleichung formell mit der Differentialgleichung des RC-Elements überein. 

$ u_e (t) = T_1  \cdot \frac{du_a(t)}{dt} + u_a(t)  \leftrightarrow s_e(t) = T_1 \cdot \frac{ds_a (t)}{dt} + s_a(t) $

$\rightarrow $ Im weiteren Verlauf halten wir die Gleichungen daher neutral mit $ x_a $ für $ s_a $ oder $  u_a$ sowie $ x_e $ für $ s_e $ oder $ u_e $:

Methode

Allgemeine Differentialgleichung: $ x_e (t) = T_1  \cdot \frac{dx_a}{dt} + x_a $ 

Wichtig

Im nächsten Kurstext setzen wir unsere Betrachtungen fort und behandeln die grafische Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock