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Regelungstechnik - Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung

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Regelungstechnik

Frequenzgang einer Differenzialgleichung mit harmonischer Anregung

Der Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mir harmonischen Schwingungen wird wie folgt berechnet.

In diesem Fall nehmen wir zwei Voraussetzungen an:

Methode

1. $ \frac{d}{dt} x(t) = j \omega \cdot x(j\omega) $

2. $ \int x(t) dt = \frac{1}{j \omega} \cdot x(j \omega) $

In Worte gefasst: Der Differenzialoperator in der Differenzialgleichung wird durch $ j \omega $  und der Integraloperator wurd durch $ \frac{1}{j \omega} $ ersetzt. 

Eine dritte Annahme ist: 

3. $ j \omega = p $ 

Letztere Annahme für die imaginäre Kreisfrequenz bezieht sich auf die Darstellung der Frequenzgangfunktion, nämlich:

Methode

$ F (p) := F (j \omega) $ 

Nun haben wir alles Notwendige um die Frequenzgangfunktion für die lineare Differenzialgleichung zu bestimmen. Die lineare Differenzialgleichung wird dabei mit der harmonischen Funktion $ x_e(t) $ angeregt.

Im ersten Schritt stellen wir die Differenzialgleichungen auf:

Methode

$ \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot \frac{d^i x_a(t)}{dt^i} = \sum_{j = 0}^{m} b_j \cdot \frac{d^j x_e(t)}{dt^j} $

Anschließend können wir die notwendigen Transformationen durchführen:

Wir beginnen $ x_e(t) $ und $ x_a(t) $ zu differenzieren,

$ \frac{d}{dt} x_e(t) \rightarrow j\omega \cdot x_e(j\omega) $

$ \frac{d}{dt} x_a(t) \rightarrow j\omega \cdot x_a(j\omega) $

um diese dann anschließend zu integrieren:

$ \int x_e(t)dt \rightarrow \frac{1}{j \omega} \cdot x_e (j\omega) $

$ \int x_a(t)dt \rightarrow \frac{1}{j \omega} \cdot x_a (j\omega) $

Nun ist es ein leichtes unsere bekannte Frequenzgangfunktion aufzustellen:

Methode

Frequenzgangsfunktion: 

$ F(j\omega) = \frac{ x_a (j\omega)}{ x_e (j\omega)} $

Im letzten Schritt möchten wir natürlich auch noch den Betrag und die Phase des Frequenzgangs bestimmen.

Methode

Betrag: 

$ | F (j \omega)| = \sqrt{Re^2\{ F(j\omega)\} + Im^2 \{F (j\omega)} $

Phase:

$ \rho(\omega) = \rho \{ F (j\omega)\} = arctan \frac{Im \{F (j\omega)\}}{ Re \{F( j \omega)\}} $.