BODE-Diagramm

Der Sinn des BODE-Diagramms besteht darin, dass anstelle von Ortskurven nun logarithmische Darstellungen untersucht werden. Dabei trägt man den Betrag und die Phase des Frequenzgangs über der Kreisfrequenz auf. 

Ausgangsgleichungen

Betrag: $ |(j\omega)| $

Phase: $ \rho (\omega) = \rho \{F(j\omega)\} $

Frequenzgang: $ F (j \omega) = |(j\omega)|  \cdot e^{j\rho(\omega)} $

Bei dieser Vorgehensweise verwendet man einen logarithmischen Maßstab.

Nachfolgend möchten wir Dir ein paar Vorteile dieser Darstellungsart vorstellen:

1. Ein großer Frequenzbereich und Amplitudenbereich kann durch die logarithmische Darstellung erfasst werden.
2. Die relative Genauigkeit ist über den gesamten Kurvenverlauf hinweg identisch.
3. Anstelle einer Multiplikation können in Reihe geschaltete Übertragungselemente in der grafischen Darstellung addiert werden. Diese ergibt sich aus der logarithmischen Darstellung der einzelnen BODE-Diagramme. 

Logarithmierung

Die Logarithmierung erfolgt zur Basis 10 (lg). Wenn nun eine Frequenzgangfunktion eines offenen Regelkreises vorliegt, also $ F_{RS} (j\omega) $, so erhalten wir durch die Logarithmierung des Frequenzgangs folgende Gleichung:

Beachte:

$ lg|F_{RS} (j \omega)| = lg |F_R(j\omega)| + lg | F_S(j\omega)| $

und

$ \rho_{RS}(\omega) = \rho_R (\omega) + \rho_S(\omega) $

Gangarten

Den Betrag eines Frequenzgangs des offenen Regelkreises bezeichnet man mit dem Amplitudengang und die Phase mit dem Phasengang.

und

Beide Kurven stehen in direkter Abhängigkeit zur Kreisfrequenz und werden mit einer logarithmischen Abszissenteilung aufgetragen. 

Beim logarithmierten Betrag des Frequenzgangs, also dem Amplitudengang, verwendet man eine lineare Ordinatenteilung. Diese Vorgehensweise gewährleistet eine gemeinsame Darstellung von Amplitudengang und Phasengang in einem identischen Diagramm. 

Beispiel:

In der nachfolgenden Abbildung siehst Du einen Regelkreis mit zwei Frequenzgangfunktionen:

Regelkreis mit zwei Frequenzgangfunktionen

Die Gleichung für die Frequenzgangfunktion des Reglers ist:

Frequenzgangfunktion des Reglers: $ F_R ( j\omega ) = K_R $

Die Gleichung für die Frequenzgangfunktion der Regelstrecke ist:

Frequenzgangfunktion der Regelstrecke: $ F_S (j \omega) = \frac{KS}{1 + j \omega \cdot T_1} $

Für unsere Berechnung verwenden wir die nachfolgenden Werte:

$ K_S = 10, $

$ T_1 = 1 s,$

$ K_R = 100 $

Gleichungen

Die Gleichungen, mit denen Amplitudengang und Phasengang für Regler, Regelstrecke und offenem Regelkreis berechnet werden können, sind nachfolgend aufgeführt:

Regler:

$ lg |F_R( j \omega)| = lg K_R = 2 $

$ \rho_R (\omega) = 0° $

Regelstrecke:

$ lg|F_S (j \omega)| = lg K_S - \frac{1}{2} lg ( 1+ \omega^2 T_1^2), $
$ lg | F_S (j \omega \rightarrow 0)| = lg K_S = 1 $
$ lg | F_S ( j \omega \rightarrow \infty)| = - \infty $

$ \rho_S (\omega) = - arctan( \omega T_1) , $
$ \rho_S (\omega \rightarrow 0) = 0° $
$ \rho_S (\omega \rightarrow \infty) = -90° $

Offener Regelkreis:

$ F_{RS} (j \omega) = F_R(j\omega) \cdot F_S(j\omega) $ 

also

$ lg| F_{RS} (j \omega) = lg K_R + lg K_S - \frac{1}{2} lg ( 1+ \omega^2 T_1^2) $

$ lg | F_{RS} (j \omega \rightarrow 0)| = lg | F_R( j \omega\rightarrow 0)| + lg | F_S (j\omega \rightarrow 0)| = lg K_R + lg K_S = 3 $

$ lg | F_{RS} (j \omega \rightarrow \infty)| = lg | F_R( j \omega\rightarrow \infty)| + lg | F_S (j\omega \rightarrow \infty)| = - \infty $


$ \rho_{RS}(\omega) = 0° - arctan ( \omega T_1), $

$ \rho_{RS}(\omega \rightarrow 0) = 0°$

$ \rho_{RS}(\omega \rightarrow \infty)  = - 90° $

Grafische Darstellung

Die Amplitudengänge der Regelstrecke, des Reglers und des offenen Regelkreises sind in der nächsten Abbildung dargestellt:

Amplitudengang

Der Phasengang von Regelstrecke, Regler und offenem Regelkreis ist nachfolgend dargestellt:

Phasengang