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Regelungstechnik - BODE-diagramm

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Regelungstechnik

BODE-diagramm

Der Sinn des BODE-Diagramms besteht darin, dass anstelle von Ortskurven nun logarithmische Darstellungen untersucht werden. Dabei trägt man den Betrag und die Phase des Frequenzgangs über der Kreisfrequenz auf. 

Betrag: $ |(j\omega)| $

Phase: $ \rho (\omega) = \rho \{F(j\omega)\} $

Frequenzgang: $ F (j \omega) = |(j\omega)|  \cdot e^{j\rho(\omega)} $

Bei dieser Vorgehensweise verwendet man einen logarithmischen Maßstab.

Eine alternative Bezeichnung des BODE-Diagramms ist Frequenzkennlinien-Diagramm.  

Nachfolgend möchten wir Ihnen ein paar Vorteile dieser Darstellungsart vorstellen:

  1. Ein großer Frequenzbereich und Amplitudenbereich kann durch die logarithmische Darstellung erfasst werden.
  2. Die relative Genauigkeit ist über den gesamten Kurvenverlauf hinweg identisch.
  3. Anstelle einer Multiplikation, können in Reihe geschaltete Übertragungselemente in der grafischen Darstellung addiert werden.  Die ergibt sich aus der logarithmischen Darstellung der einzelnen BODE-Diagramme. 

Logarithmierung

Die Logarithmierung erfolgt zur Basis 10 (lg). Wenn nun eine Frequenzgangfunktion eines offenen Regelkreises vorliegt, also F_{RS} (j\omega), so erhalten wir durch die Logarithmierung des Frequenzgangs folgende Gleichung:

Methode

Logarithmierter Frequenzgang: $ lg F_{RS} ( j \omega) = lg [|F_R ( j \omega)| \cdot e^{j \rho_R(\omega)} \cdot |F_S ( j \omega)| \cdot e^{j \rho_S (\omega)}] $ bzw. $ lg F_{RS} ( j \omega) = lg |F_R ( j \omega)| \cdot lg |F_S ( j \omega)| + j[\rho_R(\omega) + \rho_S(\omega)] \cdot lg(e) $

Beachten Sie:

Merke

Man trägt in einem BODE-Diagramm im Betrag und Phase des Frequenzgangs getrennt voneinander auf. Also:

$ lg|F_{RS} (j \omega)| = lg |F_R(j\omega)| + lg | F_S(j\omega)| $

und

$ \rho_{RS}(\omega) = \rho_R (\omega) + \rho_S(\omega) $

Gangarten

Den Betrag eines Frequenzgangs des offenen Regelkreises bezeichnet man mit dem Amplitudengang und die Phase mit dem Phasengang.

Methode

Amplitudengang: $ lg |F_RS(j\omega)| $

und

Methode

Phasengang: $ \rho_{RS} (\omega) = \rho\{F_{RS} (j \omega)\} $

Beide Kursen stehen in direkter Abhängigkeit zur Kreisfrequenz und werden mit einer logarithmischen Abszissenteilung aufgetragen. 

Methode

Logarithmische Abszissenaufteilung: $ lg = 0,1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; ... $

Beim logarithmierten Betrag des Frequenzgangs, also dem Amplitudengang, verwendet man eine lineare Ordinatenteilung. Diese Vorgehensweise gewährleistet, eine gemeinsame Darstellung von Amplitudengang und Phasengang in einem identischen Diagramm. 

Anwendungsbeispiel:

In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie einen Regelkreis mit zwei Frequenzgangfunktionen:

Regelkreis mit zwei Frequenzgangfunktionen
Regelkreis mit zwei Frequenzgangfunktionen

Die Gleichung für die Frequenzgangfunktion des Reglers ist:

Frequenzgangfunktion des Reglers: $ F_R ( j\omega ) = K_R $

Die Gleichung für die Frequenzgangfunktion der Regelstrecke ist:

Frequenzgangfunktion der Regelstrecke: $ F_S (j \omega) = \frac{KS}{1 + j \omega \cdot T_1} $

Für unsere Berechnung verwenden wie die nachfolgenden Werte:

$ K_S = 10, $

$ T_1 = 1 s,$

$ K_R = 100 $

Die Gleichungen mit denen Amplitudengang und Phasengang für Regler, Regelstrecke und offenem Regelkreis berechnet werden könnten sind nachfolgend aufgeführt:

Regler:

$ lg |F_R( j \omega)| = lg K_R = 2 $

$ \rho_R (\omega) = 0° $

Regelstrecke:

$ lg|F_S (j \omega)| = lg K_S - \frac{1}{2} lg ( 1+ \omega^2 T_1^2), $
$ lg | F_S (j \omega \rightarrow 0)| = lg K_S = 1 $
$ lg | F_S ( j \omega \rightarrow \infty)| = - \infty $

$ \rho_S (\omega) = - arctan( \omega T_1) , $
$ \rho_S (\omega \rightarrow 0) = 0° $
$ \rho_S (\omega \rightarrow \infty) = -90° $

Offener Regelkreis:

$ F_{RS} (j \omega) = F_R(j\omega) \cdot F_S(j\omega) $ 

also

$ lg| F_{RS} (j \omega) = lg K_R + lg K_S - \frac{1}{2} lg ( 1+ \omega^2 T_1^2) $

$ lg | F_{RS} (j \omega \rightarrow 0)| = lg | F_R( j \omega\rightarrow 0)| + lg | F_S (j\omega \rightarrow 0)| = lg K_R + lg K_S = 3 $

$ lg | F_{RS} (j \omega \rightarrow \infty)| = lg | F_R( j \omega\rightarrow \infty)| + lg | F_S (j\omega \rightarrow \infty)| = - \infty $


$ \rho_{RS}(\omega) = 0° - arctan ( \omega T_1), $

$ \rho_{RS}(\omega \rightarrow 0) = 0°$

$ \rho_{RS}(\omega \rightarrow \infty)  = - 90° $

Die Amplitudengänge der Regelstrecke, des Reglers und des offenen Regelkreises ist in der nächsten Abbildung dargestellt:

Amplitudengang
Amplitudengang

Der Phasengang von Regelstrecke, Regler und offenem Regelkreis ist nachfolgenden dargestellt:

Phasengang
Phasengang

Merke

Merke: Eine Dimensionsart des Amplitudengangs ist dB (Dezibel). 

$ |F (j\omega)|_{dB} = 20 \cdot lg |F (j \omega)| $

Daraus ergibt sich: 

$ | F (j \omega)| = 0,1 ; 1 ; 10  \Longrightarrow | F (j\omega) |_{dB} = - 20 dB ; 0 dB ; 20 dB $