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Regelungstechnik - Differenziationssatz, Integrationssatz

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Regelungstechnik

Differenziationssatz, Integrationssatz

In diesem Kurstext stellen wir Ihnen den Differenziationssatz und den Integrationssatz für eine LAPLACE-Transformation vor. Mit dem Differenziationssatz und dem Integrationssatz werden bei der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. 

Differenziationssatz

Möchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.

Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:

Methode

Differenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n f (s) - [s^{n-1} f(t = 0+) + s^{n-2} \cdot \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0+} + .... + s \frac{d^{(n-2)} f(t)}{dt^{(n-2)}}|_{t = 0+} + \frac{d^{(n-1)}f (t)}{dt^{(n-1)}}|_{t = 0+} ] $

Diese doch sehr umständliche Gleichung können wir auch in allgemeiner Form darstellen, womit sie eindeutig übersichtlicher wird:

Methode

Allgemeiner Differenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n \cdot f(s) - \sum_{i=1}^n s^{n-i} \cdot \frac{d^{(i-1)} f(t)}{dt^{(i - 1)}}|_{t = 0+} $ 

Für die erste Ableitung mit (n = 1) gilt dann beim Differenziationssatz:

Methode

Differenziationssatz der 1. Ableitung: $ L\{\frac{df(t)}{dt}\} = s \cdot f(s) - f(t = 0+) $

Für die zweite Ableitung mit (n = 2) gilt dann beim Differenziationssatz:

Methode

Differenziationssatz der 2. Ableitung:$ L\{\frac{d^2f(t)}{dt^2}\} = s^2 \cdot f(s) - [s \cdot f(t = 0+) + \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0 +} ] $

Haben die Anfangswerte dann noch die Werte null, dann wird der Differenziationssatz noch einfacher mit:

Methode

$ L\{\frac{d^nf(t)}{dt^n}\} = s^n \cdot f(s) $  

Integrationssatz

Betrachten wir nun den umgekehrten Fall. Soll eine Funktion im Zeitbereich integriert werden, so besteht folgender Zusammenhang im Frequenzbereich, der im Integrationssatz erfasst ist:

Methode

Integrationssatz: $ L\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \} = \frac{1}{s} \cdot L\{f (t)\} = \frac{1}{s} \cdot f(s) $

Möchte man eine n-fache Integration der Funktion im Zeitbereich durchführen, so gilt hier folgender Integrationssatz:

Methode

Integrationssatz (n-fach): $ L\{ \frac{1}{(n -1)!} \cdot \int_0^t (t -\tau)^{n-1} \cdot f (\tau) d\tau\} = \frac{1}{s^n} \cdot f(s) $ mit $ n \le 1 $