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Regelungstechnik - Differenziationssatz, Integrationssatz

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Regelungstechnik

Differenziationssatz, Integrationssatz

In diesem Kurstext stellen wir Dir den Differenziationssatz und den Integrationssatz für eine LAPLACE-Transformation vor. Mit dem Differenziationssatz und dem Integrationssatz werden bei der LAPLACE-Transformation Differenziale und Integrale in eine algebraische Form überführt. 

Differenziationssatz

Möchte man eine stetige Funktion im Zeitbereich differenzieren, so bewirkt dies auch eine Änderung im Frequenzbereich.

Diesen Zusammenhang erfasst der Differenziationssatz:

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n f (s) - [s^{n-1} f(t = 0+) + s^{n-2} \cdot \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0+} + .... + s \frac{d^{(n-2)} f(t)}{dt^{(n-2)}}|_{t = 0+} + \frac{d^{(n-1)}f (t)}{dt^{(n-1)}}|_{t = 0+} ] $

Diese doch sehr umständliche Gleichung können wir auch in allgemeiner Form darstellen, womit sie eindeutig übersichtlicher wird:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAllgemeiner Differenziationssatz: $ L\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\} = s^n \cdot f(s) - \sum_{i=1}^n s^{n-i} \cdot \frac{d^{(i-1)} f(t)}{dt^{(i - 1)}}|_{t = 0+} $ 

Für die erste Ableitung mit (n = 1) gilt dann beim Differenziationssatz:

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferenziationssatz der 1. Ableitung: $ L\{\frac{df(t)}{dt}\} = s \cdot f(s) - f(t = 0+) $

Für die zweite Ableitung mit (n = 2) gilt dann beim Differenziationssatz:

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferenziationssatz der 2. Ableitung:$ L\{\frac{d^2f(t)}{dt^2}\} = s^2 \cdot f(s) - [s \cdot f(t = 0+) + \frac{df(t)}{dt}|_{t = 0 +} ] $

Haben die Anfangswerte dann noch die Werte null, dann wird der Differenziationssatz noch einfacher mit:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ L\{\frac{d^nf(t)}{dt^n}\} = s^n \cdot f(s) $  

Integrationssatz

Betrachten wir nun den umgekehrten Fall. Soll eine Funktion im Zeitbereich integriert werden, so besteht folgender Zusammenhang im Frequenzbereich, der im Integrationssatz erfasst ist:

Methode

Hier klicken zum AusklappenIntegrationssatz: $ L\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \} = \frac{1}{s} \cdot L\{f (t)\} = \frac{1}{s} \cdot f(s) $

Möchte man eine n-fache Integration der Funktion im Zeitbereich durchführen, so gilt hier folgender Integrationssatz:

Methode

Hier klicken zum AusklappenIntegrationssatz (n-fach): $ L\{ \frac{1}{(n -1)!} \cdot \int_0^t (t -\tau)^{n-1} \cdot f (\tau) d\tau\} = \frac{1}{s^n} \cdot f(s) $ mit $ n \le 1 $