Periodische Funktionen

In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen $ f(t) $, die eine bestimmte Periodendauer $ T_P $ aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:

Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die periodische Zeitfunktion durchführen:

$ f(s) = int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \sum_{i = 0}^{\infty} \int_{iT_P}^{(i + 1)T_p} f(t) \cdot e^{-st} dt = \sum_{i = 0}^{\infty} e^{- i T_Ps} \cdot \int_0^{T_p} f(t) \cdot e^{-st} dt = \frac{1}{1 - e^{-T_ps}} \cdot \int_0^{T_P} f(t) \cdot e^{-st} dt $

Unsere LAPLACE-Transformierte $ f(s) $ einer periodischen Zeitfunktion $ f(t) $ mit
$ f(t) = f(t + i \cdot T_P) $ mit $ i = 0, 1, 2, 3, 4, ... $ hat somit die formale Schreibweise:

Beispiel:

In der nachfolgenden Abbildung siehst Du den Verlauf einer Sägezahnfunktion $ f(t) $ mit einer Periodendauer von $ T_P $. Wir möchten nun die LAPLACE-Transformierte dieser zeitlich periodischen Zeitfunktion bestimmen. 

Sägezahnfunktion

Die Sägezahnfunktion $ f(t) = f_0 \cdot \frac{t}{T_P} $ hat folgendenden Gültigkeitsbereich: $ 0 \le t < T_P $.

Allgemein lässt sich unsere Sägezahnfunktion wie folgt darstellen:

Unsere LAPLACE-Transformation hat dann die Form:

Nach dem Einsetzen von $ f(t) = f_0 \cdot \frac{t}{T_P} $ ändert sich unsere LAPLACE-Transformierte zu:

$ f(s) = \frac{1}{1 - e^{-T_ps}} \cdot \int_0^{T_p} f(o) \cdot \frac{t}{T_P} \cdot e^{-st} dt$

Nun beginnen wir das Integral aufzulösen:

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot t) \cdot e^{-st}}{s^2}]|_0^{T_P} $

$ \Longrightarrow $

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot T_P) \cdot e^{-T_P s}}{s^2} + \frac{1}{s^2}] $

$ \Longrightarrow $

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1 - (1 + T_P \cdot s) \cdot e^{-T_P s}}{(1 - e^{-T_Ps}) \cdot s^2} $

$ \Longrightarrow $

Als Lösung erhalten wir dann letztlich für unsere LAPLACE-Transformierte: