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Regelungstechnik - Periodische Funktionen

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Regelungstechnik

Periodische Funktionen

In vielen anwendungstechnischen Prozessen der Regelungstechnik treten Signalverläufe auf, die keinen willkürlichen Verlauf haben sondern zeitlich periodisch sind. Um diese Signalverläufe abbilden zu können, verwendet man periodische Zeitfunktionen $ f(t) $, die eine bestimmte Periodendauer $ T_P $ aufweisen. Die formale Schreibweise hierfür ist:

Methode

Periodische Zeitfunktion:

$ f(t) = f(t + i \cdot T_p) $, wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4,.... $

Nun möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die periodische Zeitfunktion durchführen:

$ f(s) = int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \sum_{i = 0}^{\infty} \int_{iT_P}^{(i + 1)T_p} f(t) \cdot e^{-st} dt = \sum_{i = 0}^{\infty} e^{- i T_Ps} \cdot \int_0^{T_p} f(t) \cdot e^{-st} dt = \frac{1}{1 - e^{-T_ps}} \cdot \int_0^{T_P} f(t) \cdot e^{-st} dt $

Unsere LAPLACE-Transformierte $ f(s) $ einer periodischen Zeitfunktion $ f(t) $ mit
$ f(t) = f(t + i \cdot T_P) $ mit $ i = 0, 1, 2, 3, 4, ... $ hat somit die formale Schreibweise:

Methode

LAPLACE-Transformierte einer periodischen Zeitfunktion:

$ f(s) = L\{f(t)\} = \frac{1}{1 - e^{-T_p s}} \cdot \int_0^{T_P} f(t) \cdot e^{-st} dt $

Anwendungsbeispiel:

In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie den Verlauf einer Sägezahnfunktion $ f(t) $ mit einer Periodendauer von $ T_P $. Wir möchten nun die LAPLACE-Transformierte dieser zeitlich periodischen Zeitfunktion bestimmen. 

Sägezahnfunktion
Sägezahnfunktion

Die Sägezahnfunktion $ f(t) = f_0 \cdot \frac{t}{T_P} $ hat folgendenden Gültigkeitsbereich: $ 0 \le t < T_P $.

Allgemein lässt sich unsere Sägezahnfunktion wie folgt darstellen:

Methode

$ f(t) = f_0 \cdot \frac{t + i \cdot T_P}{T_P} $ für $ i \cdot T_P \le t < (i + 1) \cdot T_P $ wobei $ i = 0, 1, 2, 3, 4, ....$

Unsere LAPLACE-Transformation hat dann die Form:

Methode

$ f(s) = \frac{1}{1 - e^{-T_ps}} \cdot \int_0^{T_p} f(t) \cdot e^{-st} dt$

Nach dem Einsetzen von $ f(t) = f_0 \cdot \frac{t}{T_P} $ ändert sich unsere LAPLACE-Transformierte zu:

$ f(s) = \frac{1}{1 - e^{-T_ps}} \cdot \int_0^{T_p} f(o) \cdot \frac{t}{T_P} \cdot e^{-st} dt$

Nun beginnen wir das Integral aufzulösen:

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot t) \cdot e^{-st}}{s^2}]|_0^{T_P} $

$ \Longrightarrow $

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1}{1 - e^{-T_P s}} \cdot [ - \frac{ (1+ s \cdot T_P) \cdot e^{-T_P s}}{s^2} + \frac{1}{s^2}] $

$ \Longrightarrow $

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1 - (1 + T_P \cdot s) \cdot e^{-T_P s}}{(1 - e^{-T_Ps}) \cdot s^2} $

$ \Longrightarrow $

Als Lösung erhalten wir dann letztlich für unsere LAPLACE-Transformierte:

Methode

$ f(s) = \frac{f_0}{T_P} \cdot \frac{1 + T_P \cdot s - e^{T_P s}}{(1 - e^{T_Ps}) \cdot s^2} $