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Regelungstechnik - Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip

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Regelungstechnik

Verstärkungsprinzip, Überlagerungsprinzip

Das Verstärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip lässt sich in Bezug auf die Laplace-Transformation anwenden, da die LAPLACE-Transformation selbst linear ist.
Aus diesem Zusammenhang ergeben sich die nachfolgenden Rechenregeln:

Methode

Verstärkungsprinzip:     $ L  $ { $ k \cdot f(t)$}$ = k \cdot L ${ $f(t)$}$ = k \cdot f(s) $

Überlagerungsprinzip:    $ L ${$ f_1(t) \pm f_2(t) $}$ = L${$f_1(t)$}$ \pm L${$f_2(t)$}$ = f_1(s) \pm f_2(s) $

Wir werden diese Gleichungen für das Verstärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip anwenden.

Verstärkungsprinzip

In der nachfolgenden Abbildung siehst Du die Verläufe von zwei Sinus-Kurven:

Verstärkungsprinzip
Verstärkungsprinzip

Der Verlauf der oberen Kurve richtet sich nach der Funktion $ x_{e1}(t) $ und die untere Kurve richtet sich nach der Funktion $ x_{e2}(t) $

Nach dem Verstärkungsprinzip gilt:

Methode

$ x_{e1} (t) = sin(\omega t)$

LAPLACE-Transformation $\rightarrow $

$ x_{e1} (s) = L \{sin(\omega t) \} $

Tabellenwerken kann dann entnommen werden:

$x_{e1} (s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

Methode

$ x_{e2} (t) = 5 \cdot sin(\omega t) $

LAPLACE-Transformation $\rightarrow $

$ x_{e2}(s) = L \{5 \cdot sin(\omega t) \} \leftrightarrow x_{e2}(s) = 5 \cdot L \{sin(\omega t) \}$

Es gilt dieselbe Funktion wie oben, nur dass mit $5$ multipliziert wird:

$x_{e2} (s) = \frac{5 \cdot \omega}{s^2 + \omega^2} $

Die Funktion $ x_{e2} (t) $ wurde gegenüber der Funktion $ x_{e1}(t) $ um den Faktor $ 5 $ verstärkt.

Überlagerungsprinzip

Wieder sehen wir zwei Kurvenverläufe, die obere Kurve weist einen Kosinusverlauf auf und die untere Kurve einen konstanten linearen Anstieg.

Überlagerungsprinzip
Überlagerungsprinzip

Wir erhalten wir für die Funktion $ x_{e1(t)} $ und die Funktion $ x_{e2}(t) $ folgende Gleichungen:

Methode

$ x_{e1}(t) = cos(\omega t) $

LAPLACE-Transformation $\rightarrow $

$ x_{e1}(s) = L${$cos(\omega t)$}$ $

Tabellenwerken kann entnommen werden:

$ x_{e1}(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$

Methode

$ x_{e2}(t) = \frac{\omega t}{\pi}$

LAPLACE-Transformation $ \rightarrow $

$ x_{e2}{s} = L \{ \frac{\omega t}{\pi} \} \leftrightarrow x_{e2}(s) = \frac{\omega}{\pi} \cdot L \{t \}$

Einsetzen in die Laplace-Transformation und Anwendung der Produktintegration führt dann zu:

$ x_{e2}{s} = \frac{\omega}{\pi \cdot s^2} $

Das Überlagerungsprinzip besagt dann:

$x_{e1} (s) \pm x_{e2} (s)$


Das bedeutet, die beiden Bildfunktionen werden wie folgt miteinander überlagert:

Methode

$x_e (s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2} + \frac{\omega}{\pi \cdot s^2}$

In der nächsten Abbildung siehst Du den entsprechenden überlagerten Verlauf $ x_e = x_{e1} + x_{e2} $

Überlagerungsprinzip
Überlagerungsprinzip