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LAPLACE-Transformation

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Im vorherigen Kurstext haben Sie bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.

LAPLACE-Transformation:

Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:

Methode

LAPLACE-Integral: 

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $


mit $s = \sigma + j \; \omega$:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{st} dt $

$ f(t): $ Vorgegebene Zeitfunktion
$ f(s): $ LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
$ L: $ Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
$ L^{-1}: $ Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation 

Merke

Anstelle von LAPLACE-Rücktransformation werden auch die Begriffe inverse LAPLACE-Transformation oder BROMWICH-Integral verwendet.
Anwendungsbeispiele

Beispiel

Nachfolgend möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die bereits bekannte Sprungfunktion und die bekannte Anstiegsfunktion durchführen.
1. Sprungfunktion:

Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:

Methode

Sprungfunktion: $ f(t) = E(t), \begin{equation}  E (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le 0  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > 0  \end{cases} \end{equation} $ 


Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:

Methode

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt= \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = - \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty = \frac{1}{s} $
2. Anstiegsfunktion:

Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:

Methode

Anstiegsfunktion: $ f(t) = t $


Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:

Methode

$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$

mit

$g(t)$ = Funktion von $t$

$f(t)$ = Funktion von $t$

$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$

$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$

Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \int_0^\infty  t \cdot e^{-st} $

Danach folgt die Produktintegration mit: $g(t) = t$ und $f(t) = e^{-st}$:

Methode

$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $

$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $

Video: LAPLACE-Transformation

Die Laplace-Transformation und Laplace-Rücktransformation werden in diesem Kurstext ausführlich thematisiert.
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Anstelle von LAPLACE-Rücktransformation werden auch die Begriffe LAPLACE-Transformation oder  -Integral verwendet.
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Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Vorstellung des Online-Kurses RegelungstechnikRegelungstechnik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Regelungstechnik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Regelungstechnik: Überblick
    • Einleitung zu Regelungstechnik: Überblick
  • Einführung in die Regelungstechnik
    • Einleitung zu Einführung in die Regelungstechnik
    • Steuerung
      • Einleitung zu Steuerung
      • Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
      • Störgrößen
      • Steuerungstechnik
    • Regelung
      • Einleitung zu Regelung
      • Realisierungsvarianten und Regelungsgrößen
      • Definition der Regelung
    • Unterscheidung von Steuerung und Regelung
  • Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
    • Einleitung zu Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
    • Wirkungspläne und Signalflusspläne
      • Einleitung zu Wirkungspläne und Signalflusspläne
      • Elemente
        • Einleitung zu Elemente
        • Übertragungsblock & Wirkungslinie
        • Darstellung der Funktionen im Übertragungsblock
        • Verknüpfungselemente
      • Anwendungsbeispiele
        • Einleitung zu Anwendungsbeispiele
        • Fall 1 von 6: Regelstreckengleichung als Signalflussplan
        • Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
        • Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
        • Fall 4 von 6: Elektrische Leistung als Signalflussplan
        • Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
        • Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
      • Einfache Signalflussstrukuren
        • Einleitung zu Einfache Signalflussstrukuren
        • Kettenstruktur
        • Parallelstruktur
        • Kreisstruktur
          • Einleitung zu Kreisstruktur
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        • Einleitung zu Weitere Umformungsregeln für Wirkungspläne
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    • Einleitung zu Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung
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