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Regelungstechnik - LAPLACE-Transformation

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Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.

LAPLACE-Transformation:

Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:

Methode

Hier klicken zum AusklappenLAPLACE-Integral: 

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $


mit $s = \sigma + j \; \omega$:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt $

$ f(t): $ Vorgegebene Zeitfunktion
$ f(s): $ LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
$ L: $ Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
$ L^{-1}: $ Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation 

Merke

Hier klicken zum AusklappenAnstelle von LAPLACE-Rücktransformation werden auch die Begriffe inverse LAPLACE-Transformation oder BROMWICH-Integral verwendet.

Beispiele

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenNachfolgend möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die bereits bekannte Sprungfunktion und die bekannte Anstiegsfunktion durchführen.

1. Sprungfunktion:

Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:

Methode

Hier klicken zum AusklappenSprungfunktion: $ f(t) = E(t), \begin{equation}  E (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le 0  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > 0  \end{cases} \end{equation} $ 


Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt= \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = - \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty = \frac{1}{s} $

2. Anstiegsfunktion:

Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnstiegsfunktion: $ f(t) = t $


Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$

mit

$g(t)$ = Funktion von $t$

$f(t)$ = Funktion von $t$

$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$

$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$

Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \int_0^\infty  t \cdot e^{-st} $

Danach folgt die Produktintegration mit: $g(t) = t$ und $f(t) = e^{-st}$:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $

$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $