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Regelungstechnik - LAPLACE-Transformation

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Regelungstechnik

LAPLACE-Transformation

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Inhaltsverzeichnis

Im vorherigen Kurstext haben Sie bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.

LAPLACE-Transformation:

Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:

Methode

LAPLACE-Integral: 

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $


mit $s = \sigma + j \; \omega$:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{st} dt $

$ f(t): $ Vorgegebene Zeitfunktion
$ f(s): $ LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
$ L: $ Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
$ L^{-1}: $ Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation 

Merke

Anstelle von LAPLACE-Rücktransformation werden auch die Begriffe inverse LAPLACE-Transformation oder BROMWICH-Integral verwendet.
Anwendungsbeispiele

Beispiel

Nachfolgend möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die bereits bekannte Sprungfunktion und die bekannte Anstiegsfunktion durchführen.
1. Sprungfunktion:

Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:

Methode

Sprungfunktion: $ f(t) = E(t), \begin{equation}  E (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le 0  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > 0  \end{cases} \end{equation} $ 


Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:

Methode

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt= \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = - \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty = \frac{1}{s} $
2. Anstiegsfunktion:

Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:

Methode

Anstiegsfunktion: $ f(t) = t $


Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:

Methode

$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$

mit

$g(t)$ = Funktion von $t$

$f(t)$ = Funktion von $t$

$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$

$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$

Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \int_0^\infty  t \cdot e^{-st} $

Danach folgt die Produktintegration mit: $g(t) = t$ und $f(t) = e^{-st}$:

Methode

$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $

$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $

Video: LAPLACE-Transformation