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LAPLACE-Transformation

WebinarTerminankündigung:
 Am 04.04.2017 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Laplace-Transformation
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar wird gezeigt wie man die Sprungantwort für eine Sprungfunktion mit einer Laplace-Transformation berechnet.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Im vorherigen Kurstext haben Sie bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.

LAPLACE-Transformation:

Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:

Methode

LAPLACE-Integral: 

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j  \; \omega \;  t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $


mit $s = \sigma + j \; \omega$:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{st} dt $

$ f(t): $ Vorgegebene Zeitfunktion
$ f(s): $ LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
$ L: $ Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
$ L^{-1}: $ Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation 

Merke

Anstelle von LAPLACE-Rücktransformation werden auch die Begriffe inverse LAPLACE-Transformation oder BROMWICH-Integral verwendet.
Anwendungsbeispiele

Beispiel

Nachfolgend möchten wir eine LAPLACE-Transformation für die bereits bekannte Sprungfunktion und die bekannte Anstiegsfunktion durchführen.
1. Sprungfunktion:

Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:

Methode

Sprungfunktion: $ f(t) = E(t), \begin{equation}  E (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  \le 0  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t > 0  \end{cases} \end{equation} $ 


Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:

Methode

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt= \int_0^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = - \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty = \frac{1}{s} $
2. Anstiegsfunktion:

Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:

Methode

Anstiegsfunktion: $ f(t) = t $


Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:

Methode

$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$

mit

$g(t)$ = Funktion von $t$

$f(t)$ = Funktion von $t$

$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$

$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$

Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:

$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \int_0^\infty  t \cdot e^{-st} $

Danach folgt die Produktintegration mit: $g(t) = t$ und $f(t) = e^{-st}$:

Methode

$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $

$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $

Video: LAPLACE-Transformation

Die Laplace-Transformation und Laplace-Rücktransformation werden in diesem Kurstext ausführlich thematisiert.
Multiple-Choice
Gegeben ist die folgende Funktion:
$x(t) = 4 + 3t - e^{-2t} $

Führen Sie eine Transformation in den Bildbereich durch.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bestimmen Sie mit dem Additionssatz (Überlagerungsprinzip) und der Korrespondenztabelle die Bildfunktion.

Überlagerungsprinzip:    $ L ${$ f_1(t) \pm f_2(t) $}$ = L${$f_1(t)$}$ \pm L${$f_2(t)$}$ = f_1(s) \pm f_2(s) $

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  • Regelungstechnik: Überblick
    • Einleitung zu Regelungstechnik: Überblick
  • Einführung in die Regelungstechnik
    • Einleitung zu Einführung in die Regelungstechnik
    • Steuerung
      • Einleitung zu Steuerung
      • Beispiel: Steuerung eines Füllstandes
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      • Steuerungstechnik
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      • Einleitung zu Regelung
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      • Definition der Regelung
    • Unterscheidung von Steuerung und Regelung
  • Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
    • Einleitung zu Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen
    • Wirkungspläne und Signalflusspläne
      • Einleitung zu Wirkungspläne und Signalflusspläne
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        • Einleitung zu Elemente
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        • Fall 2 von 6: Integrationsgleichung als Signalflussplan
        • Fall 3 von 6: Differentialgleichung als Signalflussplan
        • Fall 4 von 6: Elektrische Leistung als Signalflussplan
        • Fall 5 von 6: Variablen einer Masse als Signalflussplan
        • Fall 6 von 6: Gleichungen mit Proportionalelementen aus Regelkreis
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        • Einleitung zu Einfache Signalflussstrukuren
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    "Gut strukturierte und verständliche Darstellungen und Erklärungen. Sehr gute Übungen für das Fachvokabular."

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    "Mir gefällt der Kurs bisher sehr gut. Allerdings hoffe ich, dass der mathematische Teil später noch genauer erläutert wird."

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