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Im vorherigen Kurstext hast Du bereits die komplexe Bildvariable $ s$ kennengelernt. Sie ist besonders wichtig für die LAPLACE-Transformation, weil mit ihr erreicht wird, dass das im Folgenden angegebene Integral konvertiert und somit für die wichtigen Funktionen in der Regelungstechnik berechenbar wird. Aus Konvergenzgründen existiert die Transformation nur für $ t > 0 $.
LAPLACE-Transformation:
Wir werden im Folgenden mit dem LAPLACE-Integral rechnen. Dieses ist formal definiert durch:
Methode
$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-\sigma t} \cdot e^{-j \; \omega \; t} dt = L${$f(t)$}$ $ mit $ f(t) = 0 $ für $ t < 0 $
mit $s = \sigma + j \; \omega$:
$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt $
$ f(t): $ Vorgegebene Zeitfunktion
$ f(s): $ LAPLACE-Transformierte der vorgegebenen Funktion
$ L: $ Zeichen für die LAPLACE-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
$ L^{-1}: $ Zeichen für die LAPLACE-Rücktransformation
Merke
Beispiele
Beispiel
1. Sprungfunktion:
Gegeben sei die folgende Sprungfunktion:
Methode
Nach der LAPLACE-Transformation sieht die Gleichung wie folgt aus:
Methode
2. Anstiegsfunktion:
Es sei die folgende Anstiegsfunktion gegeben:
Methode
Hier erfolgt die Lösung des Integrals während der LAPLACE-Transformation durch Produktintegration. Die Produktintegration wird wie folgt vorgenommen:
Methode
$\int g(t) \cdot f(t) = g(t) \cdot F(t) - \int g'(t) \cdot F(t)$
mit
$g(t)$ = Funktion von $t$
$f(t)$ = Funktion von $t$
$F(t)$ = Stammfunktion von Funktion $f(t)$
$g'(t)$ = Ableitung von Funktion $g(t)$Es wird nun also zunächst die Laplace-Transformationsformel angewandt:
$ f(s) = \int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} dt = \int_0^\infty t \cdot e^{-st} $
Danach folgt die Produktintegration mit: $g(t) = t$ und $f(t) = e^{-st}$:
Methode
$f(s) = - t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st}|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{1}{s} \cdot e^{-st} dt $
$f(s) = [ -t \cdot \frac{1}{s} \cdot e^{-st} - \frac{1}{s^2} \cdot e^{-st}]|_0^\infty = \frac{1}{s^2} $
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