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Regelungstechnik

Sprungfunktion, Sprungantwort

Die Sprungfunktion ist nach wie vor die wichtigste Testfunktion der Regelungstechnik. Die Eingangsfunktion $ x_e(t) $ wird zum Zeitpunkt $ t= 0 $ sprungförmig von Null auf einen Wert $ x_{e0}( = k_0) $ geändert. Die Sprungantwort ist entsprechend der zeitliche Verlauf der Ausgangsfunktion $ x_a(t) $ eines Übertragungselements.

Eingangsfunktion - Formal

Formal schreibt man für die Eingangsfunktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Eingangsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot E(t) $

$ x_{e0} $ bezeichnet die Sprunghöhe.

$ E(t) $ stellt dabei die Einheitssprungfunktion dar, die in der Fachliteratur auch als Schaltfunktion bezeichnet wird.

Eingangssprungfunktion - Eigenschaften

Die Eigenschaften der Einheitssprungfunktion sind:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Einheitsprungfunktion:  $\begin{equation}  E (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t  < 0  \\ \ 1 \ \  \text{für} \ \  t \ge 0  \end{cases} \end{equation} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Für alle Zeiten kleiner Null ist die Sprungfunktion gleich Null. Zum Zeitpunkt $ t=0 $ springt sie auf einen Wert $ k_0 $ - hier 1 - und behält diesen Wert für immer.  

Grafische Darstellung der Sprungfunktion und der Sprungantwortfunktion

In der nächsten Abbildung siehst Du eine Sprungfunktion für eine Temperaturregelstrecke. Dabei stellt $ x_e = y $ die Regelgröße dar.

Sprungfunktion
Sprungfunktion

In der zweiten Abbildung siehst Du die entsprechende Sprungantwortfunktion der Temperaturregelstrecke. Hier stellt $ x_a = x $ die Stellgröße dar. 

Sprungfunktionantwort
Sprungantwortfunktion

Innerhalb dieser Abbildung sind folgende Zeiträume eingezeichnet:

1. $ T_u $: Dies entspricht der auftretenden Verzugszeit.

2. $ T_g $: Diesen Zeitraum bezeichnet man als Ausgleichszeit. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bezieht man die Ausgangsgröße $ x(t) $ auf die Eingangsgröße $ y(t) $, so ergibt sich daraus die normierte Sprungantwort $ h(t) $. Letztere bezeichnet man als Übergangsfunktion der Regelstrecke. Sie ist also auch die Sprungantwort des Übertragungselements als Reaktions auf einen Einheitssprung $ x_e(t) = 1(t) $ mit $ h(t) = x_a(t) $. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Übergangsfunktion der Regelstrecke: $ h(t) = \frac{x(t)}{y_0}$.

Der Proportionalbeiwert der Regelstrecke besitzt das Kürzel $ K_S $ und wird formal beschrieben durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Proportionalbeiwert: $ K_S = \frac{x(t \rightarrow \infty)}{y_0} $

Beispiel:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Wir erinnern uns erneut an das Beispiel aus einem der vorherigen Kurstexte mit der Widerstand-Kondensator-Schaltung, als Verzögerungselement mit der Gleichung:

$ T_1 = R \cdot C $ und der Anstiegsfunktion $ x_{e}(t) = x_{e0}\cdot \frac{t}{T} $ als Eingangsgröße.

Aus $ T_1 = R \cdot C $ leiten wir folgende Gleichung ab:

$ T_1 \cdot \dot x_a + x_a = x_e $ bzw. $ T_1 \cdot \dot u_a + u_a = u_e $

Dabei sind $ u_a $ und $ u_e $ Abweichungen vom Gleichgewichtszustand $ u_{eo} = 0 V $ und $ u_{a0} = 0 V $.

Als Sprungantwort auf die Sprungfunktion $ u_e(t) = x_e(t) \cdot E (t) $ ergibt sich:

Sprungantwort: $ u_a = x_e(t) ( 1 - e^{\frac{-t}{T}}) $.