Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL

Bevor wir nun mit unserer Beispielaufgabe beginnen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse zusammen:

Nachfolgend siehst Du die schematische Darstellung einer Widerstand-Kondensator-Schaltung, wie Sie sie aus der Elektrotechnik kennen.

Widerstand-Kondensator-Schaltung

Die zugehörigen Gleichungen sind:

• $ u_e(t) = R \cdot i(t) + u_a(t) $,
• $ i(t) = C \cdot \frac{du_a(t)}{dt} $
• $ T_1 = R \cdot C $
• $ T_1 \cdot \frac{du_a (t)}{dt} + u_a(t) = u_e(t) $

Zu dieser Schaltung soll eine Lösung der Differenzialgleichung aufgestellt werden.

Wir beginnen nun mit der Lösung. Hierzu stellen wir zu Beginn die uns vertraute Differenzialgleichung auf.

Die Eingangsgröße nehmen wir als Anstiegsfunktion an.

Den Zeitverlauf der Ausgangsgröße $ x_a(t) $ berechnen wir in zwei Schritten. Zuerst bestimmen wir die Lösung der homogen Differenzialgleichung $ x_{ah}(t) $ und anschließend die partikulären Lösung der Differenzialgleichung $ x_{ap} (t) $.

1. Lösung der homogen Differenzialgleichungen

Wie wir bereits wissen bleibt die Eingangsgröße bei Lösung der homogenen Differenzialgleichung unberücksichtigt. Zuerst stellen wir einen Ansatz auf, mit dem wir die Lösung der homogenen Differenzialgleichungen bestimmen können.

Die erste Ableitung dieses Ansatzes ist

Als nächstes setzen wir diesen Lösungsansatz in die Differenzialgleichung

$ T_1 \cdot \frac{dx_{ah}(t)}{dt} + x_{ah} (t) = 0 $ ein und erhalten:

Wenn wir nun die Gleichung durch Ausklammern von $ C_1 \cdot e^{\alpha t} $ ordnen, haben wir die charakteristische Gleichung bestimmt.

Gleichzeitig können wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen:

Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung:

Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen:

2. Partikuläre Lösung der Differenzialgleichung

Entsprechend unserer vorgegebenen Eingangsgröße, wählen wir für den partikulären Lösungsansatz eine Anstiegsfunktion:

Wie bei der Lösung der homogenen Differenzialgleichungen bestimmen wir auch hier die erste Ableitung.

Setzen wir nun den Lösungsansatz der partikulären Lösung der Differenzialgleichungen und die Eingangsgröße in die Differenzialgleichung

ein, so erhalten wir folgende Gleichung:

In dieser Form ist die Gleichung noch nicht optimal. Subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung den Term $ x_{e0} \cdot \frac{t}{T} $, so verkürzt sich unsere Gleichung zu:

Nun können wir auch die Gleichung für $ k $ aufstellen, die folgende Form hat:

Fassen wir nun wieder alle Gleichung zusammen, so ist unsere partikuläre Lösung:

Fassen wir erneut die logische Vorgehensweise zusammen:

3. Gesamtlösung der Differenzialgleichung:

Die Gesamtlösung der Differenzialgleichung erhalten wir aus der Zusammensetzung der Lösung der homogenen Differenzialgleichung und der partikulären Lösung:

Leider fehlt uns noch die Gleichung für die Konstante $ C_1 $. Diese können wir aber ganz einfach aus dem Anfangswert von $ x_a(t) $ ermitteln:

Wenn wir nun noch das Ergebnis für die Konstante in die Gesamtlösung einsetzen, haben wir unsere entgültige Gesamtlösung: