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Regelungstechnik

Anwendungsbeispiel: Lösung einer DGL

Bevor wir nun mit unserer Beispielaufgabe beginnen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse zusammen:

Merke

Eine Differenzialgleichung stellt den Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße eines regelungstechnischen Übertragungselements her. Die Lösung der Differenzialgleichungen erfolgt durch die Überlagerung der Teillösungen $ x_{ah} (t) $ und $ x_{ap}(t) $.

Nachfolgend siehst Du die schematische Darstellung einer Widerstand-Kondensator-Schaltung, wie Sie sie aus der Elektrotechnik kennen.

RC-Element
RC-Element

Die zugehörigen Gleichungen sind:

  • $ u_e(t) = R \cdot i(t) + u_a(t) $,
  • $ i(t) = C \cdot \frac{du_a(t)}{dt} $
  • $ T_1 = R \cdot C $
  • $ T_1 \cdot \frac{du_a (t)}{dt} + u_a(t) = u_e(t) $

Zu dieser Schaltung soll eine Lösung der Differenzialgleichung aufgestellt werden.

Wir beginnen nun mit der Lösung. Hierzu stellen wir zu Beginn die uns vertraute Differenzialgleichung auf.

Methode

Differenzialgleichung:  $ T_1 \cdot \frac{x_a (t)}{dt} + x_a(t) = x_e(t) $

Die Eingangsgröße nehmen wir als Anstiegsfunktion an.

Methode

Eingangsgröße: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot \frac{t}{T} $

Den Zeitverlauf der Ausgangsgröße $ x_a(t) $ berechnen wir in zwei Schritten. Zuerst bestimmen wir die Lösung der homogen Differenzialgleichung $ x_{ah}(t) $ und anschließend die partikulären Lösung der Differenzialgleichung $ x_{ap} (t) $.

1. Lösung der homogen Differenzialgleichungen

Wie wir bereits wissen bleibt die Eingangsgröße bei Lösung der homogenen Differenzialgleichung unberücksichtigt. Zuerst stellen wir einen Ansatz auf, mit dem wir die Lösung der homogenen Differenzialgleichungen bestimmen können.

Methode

Ansatz: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha t} $

Die erste Ableitung dieses Ansatzes ist

Methode

1. Ableitung: $ \frac{dx_{ah}(t)}{dt} = \alpha \cdot C_1 \cdot e^{\alpha t} $

Als nächstes setzen wir diesen Lösungsansatz in die Differenzialgleichung

$ T_1 \cdot \frac{dx_{ah}(t)}{dt} + x_{ah} (t) = 0 $ ein und erhalten:

Methode

$ T_1 \cdot \alpha \cdot C_1 \cdot e^{\alpha t} + C_1 \cdot e^{\alpha t} = 0 $

Wenn wir nun die Gleichung durch Ausklammern von $ C_1 \cdot e^{\alpha t} $ ordnen, haben wir die charakteristische Gleichung bestimmt.

Methode

Charakteristische Gleichung: $ C_1 \cdot e^{\alpha t} \cdot ( T_1 \cdot \alpha + 1) = 0 $

Gleichzeitig können wir mit $ T_1 \cdot \alpha + 1 = 0 $ auch die Nullstelle bestimmen:

Methode

Nullstelle: $ \alpha_1 = - \frac{1}{T_1} $

Fasst man nun alle Gleichung zusammen, so erhalten wir als Lösung der homogenen Differenzialgleichung:

Methode

Lösung der homogenen Differenzialgleichung: $ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1 t} $ bzw. $ x_{ah}(t) = C_1 e^{- \frac{t}{T_1}} $

Fassen wir die logische Vorgehensweise zusammen:

Merke

Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die Differenzialgleichung $\rightarrow $ Ausklammern $ \rightarrow $  Charakteristische Gleichung aufstellen $\rightarrow $ Nullstelle bestimmen $\rightarrow $ Zusammenfassen der Gleichungen = Lösung der homogenen Differenzialgleichung

2. Partikuläre Lösung der Differenzialgleichung

Entsprechend unserer vorgegebenen Eingangsgröße, wählen wir für den partikulären Lösungsansatz eine Anstiegsfunktion:

Methode

Anstiegsfunktion: $ x_{ap}(t) = x_{e0} \cdot \frac{t}{T} + k $

Wie bei der Lösung der homogenen Differenzialgleichungen bestimmen wir auch hier die erste Ableitung.

Methode

1. Ableitung: $ \frac{d x_{ap}(t)}{dt} = \frac{x_{e0}}{T} $

Setzen wir nun den Lösungsansatz der partikulären Lösung der Differenzialgleichungen und die Eingangsgröße in die Differenzialgleichung

Methode

Differenzialgleichung: $ T_1 \cdot \frac{dx_{ap}(t)}{dt} + x_{ap}(t) = x_e(t) $

ein, so erhalten wir folgende Gleichung:

Methode

$ x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T} + x_{e0} \cdot \frac{t}{T} + k = x_{e0} \cdot \frac{t}{T} $

In dieser Form ist die Gleichung noch nicht optimal. Subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung den Term $ x_{e0} \cdot \frac{t}{T} $, so verkürzt sich unsere Gleichung zu:

Methode

$ x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T} + k = 0 $

Nun können wir auch die Gleichung für $ k $ aufstellen, die folgende Form hat:

Methode

$ k = - \frac{T_1}{T} \cdot x_{e0} $ [Erinnerung: $ x_e $ wird immer an das Ende der Gleichung geschrieben]

Fassen wir nun wieder alle Gleichung zusammen, so ist unsere partikuläre Lösung:

Methode

Partikuläre Lösung: $ x_{ap}(t) = x_{e0} \cdot \frac{t}{T} - x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T} $
bzw. $ x_{ap}(t) = x_{e0} \cdot \frac{t - T_1}{T} $

Fassen wir erneut die logische Vorgehensweise zusammen:

Merke

Lösungansatz aufstellen $\rightarrow $ Erste Ableitung bilden $\rightarrow $ Einsetzen in die Differenzialgleichung $\rightarrow $ Kürzen $ \rightarrow $  k bestimmen $\rightarrow $  Zusammenfassen der Gleichungen = Partikuläre Lösung der Differenzialgleichung. 

3. Gesamtlösung der Differenzialgleichung:

Die Gesamtlösung der Differenzialgleichung erhalten wir aus der Zusammensetzung der Lösung der homogenen Differenzialgleichung und der partikulären Lösung:

Methode

Gesamtlösung: $ x_{a}(t) = x_{ah}(t) + x_{ap}(t) = C_1 \cdot e^{\frac{-t}{T_1}} + x_{e0} \cdot \frac{t- T_1}{T} $

Leider fehlt uns noch die Gleichung für die Konstante $ C_1 $. Diese können wir aber ganz einfach aus dem Anfangswert von $ x_a(t) $ ermitteln:

Methode

Konstante $C_1$: $ x_a(t = 0) = x_{a0} = C_1 - x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T} \rightarrow C_1 = x_{a0} + x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T} $

Wenn wir nun noch das Ergebnis für die Konstante in die Gesamtlösung einsetzen, haben wir unsere entgültige Gesamtlösung:

Methode

Finale Gesamtlösung: $ x_{a}(t) = x_{ah}(t) + x_{ap}(t) = (x_{a0} + x_{e0} \cdot \frac{T_1}{T}) \cdot e^{\frac{-t}{T_1}} + x_{e0} \cdot \frac{t- T_1}{T} $

Merke

Mit diesem Anwendungsbeispiel beenden wir den Abschnitt mit der Thematik der Differenzialgleichungen und wenden uns im kommenden Abschnitt den Testfunktionen zu.