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Regelungstechnik

Besonderheiten

In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.

In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten $ a_i $ der charakteristischen Gleichung reell.

Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen $ \alpha_i $ bei paarweiser Konjugation komplex sein:

Methode

$ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+ .... + a_1 \cdot \alpha + a_0 = a_n \cdot (\alpha - \alpha_1)\cdot (\alpha - \alpha_2)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) $

Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten beim Multiplizieren der Linearform aufheben. 

2. charakteristische Gleichung mit $ n $ verschiedenen komplexen Nullstellen

Liegt eine charakteristische Gleichung mit $ n $ verschiedenen komplexen Nullstellen vor, welche $ m = \frac{n}{2}$ konjugiert komplexe Nullstellenpaare [$\alpha_{1,2} = \delta_a \pm j\omega_1, ...., \alpha_{n-1,n} = \sigma_m \pm j\omega_m $] bilden, so ist die Lösung der homogenen Differenzialgleichung:

Methode

$ x_{ah}(t) = e^{\sigma_1t} \cdot [C_{11} \cdot e^{j\omega_1t} + C_{12} \cdot e^{-j\omega_1t} + e^{\sigma_2t}] \cdot [C_{21} \cdot e^{j\omega_2t} + C_{22} \cdot e^{-j\omega_2t} + .... + e^{\sigma_mt}] \cdot [C_{m1} \cdot e^{j\omega_mt} + C_{m2} \cdot e^{-j\omega_mt}] $ 

oder zusammengefasst:

$ x_{ah}(t) = \sum_{i =1}^m e^{\sigma_i t} \cdot [C_{i1} \cdot e^{j\omega_i t} + C_{i2} \cdot e^{-j\omega_it}] $

3. Charakteristische Gleichung mit konjugiert komplexen Nullstellen und $ n = 2 $

Bei einer charakteristischen Gleichung mit konjugiert komplexen Nullstellen und $ n = 2 $ lautet die homogene Differenzialgleichung wie folgt:

Methode

$ x_{ah}(t) = e^{\sigma_it} \cdot [ C_{11} \cdot e^{j\omega_1t} + C_{12} \cdot e^{-j\omega_1t}] $

Noch sind wir aber nicht fertig mit der Umformung der homogenen Differenzialgleichung. Unter Verwendung des Eulerschen Satzes:

Methode

Eulerscher Satz: $ e^{\pm j\omega t} = cos {\omega t} \pm j sin(\omega t) $

erhalten wir für unsere homogene Differenzialgleichung $ x_{ah}(t)$:

Methode

$x_{ah}(t) = e^{\delta_1 t} \cdot [(j C_{11} - j C_{12}] \cdot sin(\omega_1 t) + (C_{11} + C_{12}) \cdot cos(\omega_1 t) $

Mit dieser Gleichung  wissen wir nun, dass $ x_a(t) $ eine physikalische Größe ist und $ x_{ah}(t) $ somit eine reelle Funktion. Weiter wissen wir jetzt, dass die Koeffizienten der Sinuns- und Kosinusfunktion auch reell sind. Vorausgesetzt, $ C_{11}$ und $ C_{21} $ sind konjugiert komplex. Die entsprechenden Gleichungen hierfür sind:

$ C_{11} = a + jb $

$ C_{12} = a - jb $

Entsprechend unserer bisherigen Erkenntnisse sind auch die Konstanten $ B_1 $ und $ B_2 $ reell. Diese werden formal beschrieben durch:

$ B_1 = j(C_{11} - C_{12}) = - 2 \cdot b $

$ B_2 =j (C_{11} + C_{12}) = 2 \cdot a $

Trigonometrische Form und Sinusform der Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Hieraus können wir dann noch die Lösung der homogenen Differenzialgleichung $ x_{ah}(t) $ in trigonometrischer Form und anschließend in Sinusform bilden:

Methode

Trigonometrische Form: $ x_{ah}(t) = e^{\delta_1 t} \cdot [ B_1 \cdot sin(\omega_1 t) + B_2 \cdot (\omega_1t)] $

Merke

Bei der Sinusform verwendet man weitere die Konstanten $ A$ und $ \phi $, die Ihnen vielleicht auch aus der Wechselstromtechnik bekannt sind. Bei der Konstante $ A $ handelt es sich um die Amplitude und bei der Konstante $ \phi $ um die Phasenverschiebung.

Methode

Sinusform: $ x_{ah}(t) = A \cdot e^{\delta_1 t} \cdot sin(\omega_1 t + \phi) $

Konstanten: $ A = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} $ und $ tan \phi = \frac{B_1}{B_2} $