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Regelungstechnik

Homogene Differenzialgleichungen

Unter den Grundannahmen des vorherigen Textes wenden wir uns jetzt der Lösung der homogenen Differenzialgleichung zu.

Im ersten Schritt stellen wir eine Homogene Differenzialgleichung auf:

Methode

Homogene Differenzialgleichung: $ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot \frac{d^{0} x_a}{dt^{0}} = 0 $ 

Der Letzte Term auf der linken Seite wird gekürzt und die homogene Differenzialgleichung wird zu:

Methode

$ a_n \cdot \frac{d^n x_a}{dt^n} + a_{n-1} \cdot \frac{d^{n-1} x_a}{dt^{n-1}} + a_{n-2} \cdot \frac{d^{n-2} x_a}{dt^{2-1}}+....+ a_{1} \cdot \frac{d^{1} x_a}{dt^{1}}+a_{0} \cdot x_a = 0$ 

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt im zweiten Schritt durch den Ansatz:

Methode

$ x_{ah}(t) = C \cdot e^{\alpha t} $

Setzt man diese Gleichung in die Differenzialgleichung ein ergibt sich folgende neue Gleichung, die als charakteristische Gleichung des Systems bezeichnet wird:

Methode

Charakteristische Gleichung: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 $

Für das weitere Vorgehen rufen wir uns ins Gedächtnis, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Merke

Fundamentalsatz der Algebra: Eine Polynomgleichung$ n$-ter Ordnung besitzt $ n $ Nullstellen $ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3, ...  \alpha_n$.

Nun zerlegen wir die charakteristische Gleichung in Linearfaktoren:

Methode

Linearfaktoren: $ a_n \cdot \alpha^n + a_{n-1} \cdot \alpha^{n-1} + a_{n-2} \cdot \alpha^{n-2}+....+ a_{1} \cdot \alpha^{1} + a_0 = 0 \Longrightarrow  a_n \cdot (\alpha - \alpha_1) \cdot (\alpha - \alpha_2) \cdot (\alpha - \alpha_3)\cdot .... \cdot (\alpha - \alpha_n) = 0 $

Für die letztendliche Lösung der homogenen Differenzialgleichung müssen wir noch entscheiden, um welche Art von Nullstellen es sich bei der charakteristischen Gleichung handelt:

1. Fall: Die $ n$-Nullstellen $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, ... \alpha_n $ der charakteristischen Gleichung sind reell und untereinander verschieden:

In diesem Fall hat die homogene Differenzialgleichung die Lösung:

Methode

$ x_{ah}(t) = C_1 \cdot e^{\alpha_1t}+ C_2 \cdot e^{\alpha_2t}+ C_3 \cdot e^{\alpha_3t}+....+ C_n \cdot e^{alpha_nt} = \sum_{i=1}^n C_i \cdot e^{\alpha_it} $

2. Fall: Die $ n$-Nullstellen $\alpha_1 $ der charakteristischen Gleichung sind reell und gleich:

In diesem Fall hat die homogene Differenzialgleichung die Lösung: 

Methode

$ x_{ah}(t) = e^{\alpha_1t} \cdot (C_1 + C_2 \cdot t +.... + C_n \cdot t^{n-1} =  e^{\alpha_1t} \cdot \sum_{i=1}^n C_i \cdot t^{i-1} $