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Regelungstechnik - Partikulare Lösung einer Differenzialgleichung

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Regelungstechnik

Partikulare Lösung einer Differenzialgleichung

Wir haben bereits die erste Teillösung der Gesamtlösung der Differenzialgleichung bestimmt und werden nun die zweite Teillösung, also die partikuläre Lösung thematisieren. 

Wie Sie in in einem früheren Kurstext erfahren haben, setzt sich die Gesamtlösung aus einer homogenen und einer partikulären Lösung der Differenzialgleichung zusammen. Die bekannte Gleichung ist:

Methode

$ x_a(t) = x_{ah} (t) + x_{ap} (t) $

Die partikulare Lösung der Differenzialgleichungen $ x_{ap}(t) $ berücksichtigt die Eingangsgröße, die in der Berechnung der Lösung der homogen Differenzialgleichungen $ x_{ah} (t) $ noch nicht eingegangen ist. Die vorhandenen Integrationskonstanten $ C_i $ werden dabei aus den Anfangsbedingungen bestimmt.

Die Möglichkeiten zur Bestimmung der partikulären Lösung sind zahlreich. In vielen Fällen nutzt man den Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten, da der Funktionstyp der Eingangsgröße mit dem Typ der partikulären Lösung identisch ist.

Beispiel

Ist beispielsweise $ x_e(t) $ ein harmonische Funktion, so handelt es sich bei $ x_{ap} (t) $ um eine harmonische Funktion mit einer unbestimmten Amplitude und Phasenverschiebung. Oder ist $ x_e(t) $ beispielsweise eine Sprungfunktion, so ist auch $ x_{ap} $ eine Sprungfunktion mit unbestimmter Sprunghöhe.

Um ein Gefühl für die Lösung einer Differenzialgleichungen inklusive der Lösung der homogenen Differenzialgleichung und der partikulären Lösung der Differenzialgleichung zu erhalten, werden wir im kommenden Kurstext eine Beispielaufgabe vorrechnen.