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Regelungstechnik - Analytische Verfahren

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Regelungstechnik

Analytische Verfahren

Lässt sich eine nichtlineare Kennlinie analytisch darstellen, also durch Gleichungen, so ermittelt sich der Proportionalbeiwert $ K_p $ aus dem Differenzialquotienten der nichtlinearen Gleichung. Die auftretenden Größen sind:

  • Zeitveränderliche Größen der Regelstrecke: $ x_e(t) $ und $ x_a(t) $
  • Werte des Arbeitspunktes: $ x_{eA} $ und $ x_{aA} $
  • Minimale Abweichungen von den Arbeitspunktwerten: $ \Delta x_e(t) $ und $ \Delta x_a(t) $.

Merke

Infolge der Linearisierung wird der Proportionalbeiwert $ K_p $ für den Arbeitspunkt ermittelt. Es handelt sich dabei um den Wert, bei dem kleine Abweichungen $ \Delta x_e(t)$ auf den Ausgang $ \Delta x_a(t) $ verstärkt werden.

Nichtlineares Übertragungselement

Bei der nachfolgenden Abbildung handelt es sich um ein nichtlineares Übertragungselement:

Nichtlineares Übertragungselement
Nichtlineares Übertragungselement

die zugehörigen Gleichungen sind:

  • $\ x_a = f (x_e) $ 
  • $\ x_e = f (x_{eA}) $
  • $ x_a(t) = x_{aA} + \Delta x_a(t) $ bzw.
  • $ x_a(t) = f (x_{eA} + \Delta x_e(t)) $

1. Die Bestimmung der Geradengleichung erfolgt aus der Entwicklung der rechten Seiten der Gleichung mithilfe des Taylorschen Satzes und durch Abbruch nach dem ersten Term.

Methode

$ x_a(t) = x_{aA} + \Delta x_a(t) \approx f (x_{eA}) + \frac{d f(x_e)}{dx_e} |_A \cdot \Delta x_e(t) $.

2. Im zweiten Schritt subtrahiert man den konstanten Anteil $ x_{aA} = f(x_{eA}) $ und erhält dann:

Methode

$ \Delta x_a (t) \approx \frac{df(x_e)}{d x_e}|_A \cdot \Delta x_e(t) = K_p \cdot \Delta x_e(t) $

Merke

Unsere durchgeführte Linearisierung führt uns zu einem Proportionalelement, dessen Proportionalbeiwert von dem zuvor gewählten Arbeitspunkt abhängt.

In der nächsten Abbildung sehen Sie eine Gegenüberstellung eines nichtlinearen und eines linearisierten Übertragungselement:

Lineares versus nichtlineares Übertragungselement
Lineares versus nichtlineares Übertragungselement

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Uns liegt eine Regelstrecke vor, die ein nichtlineares Übertragungsverhalten besitzt:

$ x(t) = 2 \cdot y^2(t) $

Die Regelstrecke soll in einem festgelegten Arbeitspunkt linearisiert werden. Die Angaben für den Arbeitspunkt sind:

$ y_A = 4 $

$ x_A = 2 \cdot y^2_A = 32 $

1. Erneut nutzen wir die Taylor-Reihenentwicklung und erhalten dann:

$ x(t) = x_A \cdot \Delta x(t) \approx f(y_A) + \frac{d f(y)}{dy} _A \cdot \Delta y(t) $

2. Im zweiten Schritt führen wir die bekannte Subtraktion von $ x_A = f(yA) = 2 \cdot y^2_A $ durch und erhalten somit die linearisierte Form mit

$ \Delta x(t) \approx \frac{df(y)}{dy}|_A \cdot \Delta y(t) = K_S \cdot \Delta y(t) \rightarrow $
$ \Delta x(t) = 2 \cdot 2 \cdot y|_{y_A=4} \cdot \Delta y(t) = 16 \cdot \Delta y(t) $

Tritt eine Änderung $ \Delta y $ der Stellgröße im Arbeitspunkt $ y_A = 4 $ auf, so wird diese mit K_S = 16 $ verstärkt.

Damit Sie sehen, wie sich eine Linearisierung äußert, möchten wir nun untersuchen wie sich eine Stellgrößenänderung von $ \Delta y = 0,2 $ auf die Regelgröße einer linearisierten und nicht linearisierten Regelstrecke auswirkt:

Methode

Linearisierte Regelstrecke:
$ x = x_A + \Delta x \approx f(ya) + K_S \cdot \Delta y = 2 \cdot y_A^2 + K_S \cdot \Delta_y = 32 + 16 \cdot 0,2 = 35,2 $

$ \ $

Methode

Nichtlinearisierte Regelstrecke:
$ x = 2 \cdot (y_A + \Delta y)^2 = 2 \cdot (4 + 0,2)^2 = 35,28 $

Wie Sie sehen ergeben sich unterschiedliche Werte der Regelgröße, da das nichtlineare Übertragungsverhalten durch eine Gerade im Arbeitspunkt angenähert wurde.

Merke

Linearisierungen sind generell nur für kleine Eingangssignaländerungen um den Arbeitspunkt gültig.

Signalflusssymbole

Um in einem Signalflussplan hervorzuheben, dass es sich um eine linearisierten oder nichtlinearer Regelstrecke handelt verwendet man folgende Signalflusssymbole:

Signalflusssymbole
Signalflusssymbole