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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Superpositionsprinzip

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Superpositionsprinzip

Das Superpositionsprinzip, oder auch Überlagerungsmethode genannt, ist eine Methode, die es erlaubt einen komplizierten Biegefall in mehrere einfache Biegefälle, deren Lösungen bekannt oder schnell ermittelbar sind, zu zerlegen. Abschließend addiert man die Einzellösungen und erhält somit die Lösung für den komplizierten Biegefall. 

Das folgende Beispiel soll dieses Verfahren näher erläutern: 

Beispiel: Überlagerung
Beispiel: Überlagerung

In der obigen Abbildung liegt ein Balken vor, der auf einem Los- und Festlager gestützt wird. Auf den Balken wirken zwei Einzelkräfte und eine Streckenlast. Man beginnt nun die Kräfte nacheinander zu bestimmen oder ggf. aus einer Tabelle abzulesen. In diesem Beispiel bestimmt man zuerst die Einzellast, dann die Streckenlast und anschließend die verbleibende Einzellast. Die Ergebnisse aller drei Berechnungen fasst man abschließend zu einer Lösung zusammen. In diesem Beispiel wäre die Lösung für die Gesamtdurchbiegung:

$ w_{1,2,3} (x) = w_1(x) + w_2(x) + w_3(x) $ 

Für die Bestimmung der Einzellösungen verwendet man die bereits bekannten Methoden aus den vorangegangenen Abschnitten. 

Anwendungsbeispiel 1: Überlagerung 

Beispiel: Überlagerung
Beispiel: Überlagerung

In der obigen Abbildung ist ein fest eingespannter Balken zu sehen, an welchem die äußere Belastung $F$ am Ende des Balkens angreift und zusätzlich noch ein Moment $M$. Es wird nun die Durchbiegung für die Kraft $F$ durchgeführt und danach separat für die Kraft $M$. Beide Ergebnisse werden dann miteinander addiert und damit die gesamte Durchbiegung bestimmt.

Aus der Tabelle in Abschnitt Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastungen kann man die Gleichung für die Biegelinie für einen fest eingespannten Balken mit Belastung $F$ ablesen:

$w_1(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3)$

Die Belastung für ein Moment auf einem eingespannten Balken ist auch in der Tabelle zu finden:

$w_2(x) = \frac{Mx^2}{2EI}$

Die Addition von beiden führt dann zu:

$w(x) = w_1(x) + w_2(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + \frac{Mx^2}{2EI}$

Den Neigungswinkel erhält man durch die 1. Ableitung von $w$:

$w'(x) = \frac{F}{EI} (lx - \frac{1}{2}x^2) + \frac{Mx}{EI} = -\varphi(x)$

Anwendungsbeispiel 2: Überlagerung 

Beispiel: Überlagerung
Beispiel: Überlagerung

Gegeben sei der obige Balken mit der Kraft $F$. Die Biegesteifigkeit sei konstant ($EI = const.$). Es soll die Absenkung des Balkens am Balkenende betrachtet werden (also $w_{max}$). Hierbei kann man anstatt das Ganze einmal durchzurechnen den Balken in zwei Balken zerlegen. Das bedeutet, man zerlegt den Balken dort wo die Kraft ansetzt in zwei Balken. Der erste Balken besitzt demnach die Länge $a$ und die Kraft greift am Ende an. Dies entspricht der Formel für einen eingespannten Balken mit Kraft $F$ am Balkenende (siehe auch oben).

$w_1(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3)$

Hier gilt allerdings $l = a$:

$w_1(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{6}x^3)$

Für die Absenkung dieses ersten Teilbalkens am Balkenende muss $x = a$ gesetzt werden:

$w_1(x=a) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{6}a^3)$

$w_1(x=a) = \frac{Fa^3}{3EI}$

Die Neigung des Querschnitts ergibt sich aus der 1. Ableitung:

$w_1(x) = \frac{F}{EI} (\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{6}x^3)$

$w'_1(x) = \frac{F}{EI} (ax - \frac{1}{2}x^2)$

Am Balkenende des Teilbalkens ist die Neigung ($x = a$):

$w'_1(x=a) = \frac{F}{EI} (a^2 - \frac{1}{2}a^2)$

$w'_1(x=a) = \frac{Fa^2}{2EI} = -\varphi$.

Den zweiten Balken kann man nun mittels des Winkels $-\varphi$ berechnen, wobei zusätzlich die Länge $b$ berücksichtigt werden muss. Hier muss man das obige Vorgehen deswegen nicht mehr durchführen, da keine weitere Last angreift und der Balken sich somit in der restlichen Länge zwar mit im Winkel $\varphi$ senkt, aber innerhalb dieser Senkung gerade bleibt. 

$w_2(x) = -\varphi \cdot b = w'_1(x) \cdot b = w'_1(x) = \frac{F}{EI} (ax - \frac{1}{2}x^2) b $

Einsetzen von $b = l - a$:

$w_2(x) =  \frac{F}{EI} (ax - \frac{1}{2}x^2) (l - a)$

Einsetzen von $x = l$

Die gesamte Verformung ergibt sich aus:

$w(x) = w_1(x) + w_2(x) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} (l - a) $

Gesamte Senkung