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Regelungstechnik - Harmonische Funktionen

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Regelungstechnik

Harmonische Funktionen

Bei den bisher betrachteten Testfunktionen handelte es sich immer um Funktionen mit einem unstetigen Verlauf. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von aperiodischen Testfunktionen. Bei einer harmonischen Funktion, auch periodische Funktion genannt, ist der Verlauf hingegen stetig. Der bekannteste Fall ist die Verwendung der Sinusfunktion als Eingangsgröße. 

Harmonische Funktion - Überblick

Bei dieser Testfunktion wird eine harmonische sinusförmige Schwingung mit der Frequenz $ \omega $ aufgeschaltet. Nach einer gewissen Einschwingzeit besitzt die Ausgangsgröße $ x_a(t) $ im beharrenden Zustand auch eine gleichförmige Schwingungsantwort mit der gleichen Frequenz $ \omega $ wie die Eingangsgröße $ x_e(t) $. Beide unterscheiden sich aber hinsichtlich Amplitude und Phasenlage

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Eingangsgröße Sinusfunktion: $ x_e(t) = \hat x_e \cdot sin (\omega t) $.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die sich ergebende Antwortfunktion bezeichnet man entsprechend als Sinusantwort.

Das Verhältnis zwischen der Ausgangsgröße $ x_a(j\omega)$ und der Eingangsgröße $ x_e(j\omega)$ wird als Frequenzgang $ F(j\omega) $ bezeichnet. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten von Regelkreiselementen im Frequenzbereich.

In der nächsten Abbildung siehst Du den Verlauf einer Sinusfunktion $ x_e(t)$

Sinusfunktion
Sinusfunktion

und den Verlauf einer entsprechenden Sinusantwort $x_a(t)$:

Sinusantwort
Sinusantwort

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen Mit der harmonischen Funktion finden die Testfunktionen ihren Abschluss. Im nächsten Kapitel behandeln wir das besonders wichtige Thema der Laplace-Transformation.