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Regelungstechnik - Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit

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Regelungstechnik

Testfunktionen als Vergleichsmöglichkeit

Wie Du bereits weißt, lässt sich die Ausgangsgröße $ x_a(t) $ bei einem bekannten zeitlichen Verlauf der Eingangsgröße $ x_e(t) $ berechnen, sofern die Parameter des Übertragungselements bekannt sind.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen In der Regelungstechnik ist es immer sinnig, eine Vergleichsmöglichkeit zwischen unterschiedlichen Regelungssystemen oder bei einer Variation der Parameter eines Systems zu ermöglichen. Hierzu ermittelt man Testfunktionen.

Dabei handelt es sich um die Lösung der Differenzialgleichungen für bestimmte Eingangsfunktionen, aus denen man dann normierte Ausgangsfunktionen errechnen kann, die einen Vergleich ermöglichen.

Bestimmung des dynamischen Verhaltens eines Übertragungselements

Man hat also zwei Möglichkeiten das dynamische Verhalten eines Übertragungselements zu bestimmen:

1. Mathematische Berechnung mit Hilfe von Differenzialgleichungen,

2. Experimentelle Bestimmung durch Aufschalten von Testfunktionen. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Man wählt als Eingangsgröße $ x_e(t) $ eine anschauliche und leicht realisierbare Testfunktion, wie die Impulsfunktion, die Sprungfunktion, die Anstiegsfunktion oder die Sinusfunktion. Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße $ x_a(t)$ wird grafisch dargestellt und ist die Antwort auf die gewählte Eingangsgröße $ x_e(t) $.

Der Verlauf der Ausgangsgröße ist dann charakteristisch für das Verhalten, bzw. Übertragungsverhalten, des Übertragungselements.  

Die Lösung kann mit einem der genannten Verfahren berechnet werden. Dabei hat es sich bewährt, die Testfunktionen zum Zeitpunkt $ t= 0 $ als Eingangsgröße aufzuschalten und die Ausgangsgröße aufzuzeichnen. Liegt ein stabiles System vor, so wird die Ausgangsgröße von einem stationären Zustand in den durch die partikuläre Lösung vorgegebenen neuen stationären Zustand überführt. Das dynamische Verhalten ist durch dieses Übertragungsverhalten bestimmt.

In der nächsten Abbildung sehen Sie ein Übertragungselement mit einer Eingangsgröße $ x_e(t)$ und einer Ausgangsgröße $ x_a(t)$

Übertragungselement
Übertragungselement

Es wird nun ein Testsignal $ x_e(t) $ induziert. Der ausgewählte Einschaltzeitpunkt ist $ t_0 $. Dies lässt sich wie folgt grafisch darstellen:  

Testsignal
Testsignal

Das Testsignal regt eine Testsignalantwort an. Auch dieses wird grafisch darstellt:

Testsignalantwort
Testsignalantwort

Bevor wir nun mit den einzelnen Testfunktionen beginnen, ein paar Fakten, die Du Dir merken solltest.

Vor dem Einschalten $ t = 0 $ muss im Übertragungselement ein Gleichgewichtszustand mit konstanten Werten $ x_e = x_{e0} $ und $ x_a = x_{a0} $ vorliegen. 

Wird ein Gleichgewichtszustand im Vorfeld festgelegt, so werden ausschließlich Abweichungen vom Gleichgewichtszustand betrachtet.

$ \delta x_e = x_e - x_{e0} $ 

$ \delta x_a = x_a - x_{a0} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Welche Testfunktion letztlich als Eingangsgröße gewählt wird, hängt von der Zweckmäßigkeit ab. Man kann unterschiedliche Testfunktionen für ein Übertragungselement verwenden und erhält letztlich gleichbedeutende Aussagen der jeweiligen Antwortfunktionen.