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Regelungstechnik - Multiplikationssätze

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Regelungstechnik

Multiplikationssätze

Als Ergänzung zum Verschiebungssatz im Frequenzbereich, also dem Dämpfungssatz, möchten wir kurz auf die Multiplikationssätze für eine Transformation von trigonometrischen (sin, cos) und hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh) eingehen.

Trigonometrische Funktionen:

1. transformierte Sinusfunktion: 

Methode

$ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $
2. transformierte Cosinusfunktion:

Methode

$ L \{cos(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} + e^{- j a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) + f (s + ja)}{2} $

Hyperbolische Funktionen:

1. transformierter Sinus Hyperbolicus, Hyperbelsinus:

Methode

$ L \{sinh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} - e^{-  a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) - f (s + a)}{2} $
2. transformierter Cosinus Hyperbolicus, Hyperbelcosinus:

Methode

$ L \{cosh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} + e^{-  a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) + f (s + a)}{2} $
Anwendungsbeispiel:

Beispiel

In diesem Beispiel soll die LAPLACE-Transformierte für die Zeitfunktion $ sin (3 \cdot t) \cdot t^2 $ aufgestellt werden. Es handelt sich hierbei um eine Sinusfunktion. 

Unsere bekannten Kennzahlen sind:

  • $ a = 3 $
  • $ f(t) = t^2 $
  • $ f(s) = \frac{2}{s^3}$
  • $ f(s + ja) = \frac{2}{(s + ja)^3} $
  • $ f(s - ja) = \frac{2}{(s - ja)^3} $

Unsere LAPLACE-Transformierte für diese Sinusfunktion ist dann:

Methode

$ L\{sin(at) \cdot t^2\} = \frac{f(s - ja) - f(s + ja)}{2j}
= \frac{1}{2j} \cdot ( \frac{2}{(s - ja)^3} - \frac{2}{(s + ja)^3})
= \frac{2 \cdot a \cdot (3 \cdot s^2 -a^2)}{(s^2 + a^2)^3}
= \frac{6 \cdot( 3\cdot s^3 - 9)} {(s^2 + 9)^3} $