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Regelungstechnik

Multiplikationssätze

Als Ergänzung zum Verschiebungssatz im Frequenzbereich, also dem Dämpfungssatz, möchten wir kurz auf die Multiplikationssätze für eine Transformation von trigonometrischen (sin, cos) und hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh) eingehen.

Trigonometrische Funktionen:

1. transformierte Sinusfunktion: 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ L \{sin(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} - e^{- j a t}}{2j} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) - f (s + ja)}{2j} $

2. transformierte Cosinusfunktion:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ L \{cos(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+j a t} + e^{- j a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - ja) + f (s + ja)}{2} $

Hyperbolische Funktionen:

1. transformierter Sinus Hyperbolicus, Hyperbelsinus:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ L \{sinh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} - e^{-  a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) - f (s + a)}{2} $

2. transformierter Cosinus Hyperbolicus, Hyperbelcosinus:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ L \{cosh(at) \cdot f(t)\} = L \{ \frac{e^{+ a t} + e^{-  a t}}{2} \cdot f(t) \} = \frac{f(s - a) + f (s + a)}{2} $

Beispiel:

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen In diesem Beispiel soll die LAPLACE-Transformierte für die Zeitfunktion $ sin (3 \cdot t) \cdot t^2 $ aufgestellt werden. Es handelt sich hierbei um eine Sinusfunktion. 

Unsere bekannten Kennzahlen sind:

  • $ a = 3 $
  • $ f(t) = t^2 $
  • $ f(s) = \frac{2}{s^3}$
  • $ f(s + ja) = \frac{2}{(s + ja)^3} $
  • $ f(s - ja) = \frac{2}{(s - ja)^3} $

Unsere LAPLACE-Transformierte für diese Sinusfunktion ist dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen $ L\{sin(at) \cdot t^2\} = \frac{f(s - ja) - f(s + ja)}{2j}
= \frac{1}{2j} \cdot ( \frac{2}{(s - ja)^3} - \frac{2}{(s + ja)^3})
= \frac{2 \cdot a \cdot (3 \cdot s^2 -a^2)}{(s^2 + a^2)^3}
= \frac{6 \cdot( 3\cdot s^3 - 9)} {(s^2 + 9)^3} $