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Regelungstechnik - Impulsfunktion, Impulsantwort

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Regelungstechnik

Impulsfunktion, Impulsantwort

Inhaltsverzeichnis

Bei der Impulsfunktion wird der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße, die Impulsantwort, eines Übertragungsgliedes durch eine einmalige stoßartige Anregung durch die Eingangsgröße erzeugt. Man bezeichnet eine Anregung als stoßartig, wenn sie im Vergleich zur an Schwingzeit des Übertragungsgliedes kurz ist. Alternativ bezeichnet man die Ausgangsgröße auch als Gewichtsfunktion $ g(t) $.

Merke

Die Impulsintensität hängt nicht von der Impulsform ab, sondern entspricht der Impulsfläche.

Die Einheitsimpulsfunktion besteht aus einem Nadelimpuls $ \sigma(t) $ mit der Fläche eins, den man als Dirac-Impuls bezeichnet. Die Definition des Dirac-Impulses ist:

Methode

Dirac-Impuls: $\begin{equation}  \sigma (t)  = \begin{cases}  0 \ \ \text{für} \ \ t < 0 \ \ \text{und}\ \  t> 0 \\ \infty \ \  \text{für} \ \  t = 0  \end{cases} \end{equation}, \int \sigma(t)dt = 1$

Die typische Impulsfunktion hat die Form:

Methode

Impulsfunktion: $ x_e(t) = x_{e0} \cdot T \cdot \sigma(t) $
  • $ x_{e0} \cdot T $ Fläche
  • $ \sigma (t) $ Dirac-Impuls

Die Eingangsgröße $ x_e(t) $ besitzt zum Zeitpunkt $ t= 0 $ den Wert $ x_{e0} $ und zur Zeit $ t \le T $ den Wert $0 $. Die Impulsdauer wird auf $\frac{T}{2} $ verkürzt und die Amplitudenhöhe auf $ 2 \cdot x_{e0} $vergrößert. Die Impulsfläche ist währenddessen unverändert. Liegt ein $ T \rightarrow 0 $ vor. So wird die Eingangsgröße $ x_e \rightarrow \infty $. 

Die nachfolgende Abbildung sollen Ihnen dies nochmal verdeutlichen:

Impulsfunktion
Impulsfunktion

Beispiel:

Beispiel

Wir erinnern uns an das Beispiel aus einem der vorherigen Kurstexte mit der Widerstand-Kondensator-Schaltung, als Verzögerungselement mit der Gleichung

$ T_1 = R \cdot C $ und der Anstiegsfunktion $ x_{e}(t) = x_{e0}\cdot \frac{t}{T} $ als Eingangsgröße. 

Es soll nun die Impulsfunktion $ \sigma(t) $ und die Gewichtsfunktion $ g(t) $ für das Übertragungselement grafisch abgebildet werden.

Die Abbildung sähe dann wie folgt aus:

Impulsfunktion und Gewichtsfunktion
Impulsfunktion und Gewichtsfunktion

In der Abbildung sind die Impulsfunktion $ \sigma(t) $, sowie die Impulsantwort [Gewichtsfunktion] $ g(t) $  für das Übertragungselement eingezeichnet. Dabei stellt die Impulsfunktion als Eingangsgröße eine physikalische Aufschaltung eines Energieimpulses mit der Fläche $ x_{eo} \cdot T $ dar. Die Größe $ x_{e0} $ hat hier die Dimension einer Leistung. 

Merke

Obwohl sich eine Impulsfunktion nicht physikalisch exakt realisieren lässt, kann aus dem Antwortverhalten bei Anregungen mit kurzen Impuls und hoher Amplitude eine Aussage hinsichtlich dynamischer Eigenschaften, wie Eigenfrequenz und Dämpfung abgelesen werden.