Wirbelstärke

Die Wirbelstärke misst die Stärke des Wirbels im Geschwindigkeitsfeld (ebene Strömungen). Die nachfolgende Abbildung zeigt, wie so ein Wirbel aussehen kann:

In der obigen Grafik ist ein Rad zu sehen, welches sich innerhalb einer strömenden Flüssigkeit befindet. Im ersten Fall nimmt die Geschwindigkeitskomponente $w_x$ in positiver $y$-Richtung ab. Es resultiert demnach eine negative Steigung (gestrichelte Linie). Die Ableitung der Geschwindigkeitskomponente $w_x$ nach $y$ ( = $\partial y$) ergibt demnach einen negativen Wert (= negative Steigung).

$\frac{\partial w_x}{\partial y} < 0$.

Im zweiten Fall nimmt die Geschwindigkeitskomponente $w_y$ in positiver $x$-Richtung zu. Es resultiert eine positive Steigung (gestrichelte Linie). Die Ableitung der Geschwindigkeitskomponente $w_y$ nach $x$ (= $\partial x$) ergibt demnach einen positiven Wert (= positive Steigung).

$\frac{\partial w_y}{\partial x} > 0$.

Der dritte Fall fasst die beiden genannten Fälle zusammen. Diese Zusammenfassung ergibt die Wirbelstärke:

Es ist natürlich auch möglich, dass beim ersten Fall die Geschwindigkeitskomponente $w_x$ in positiver $y$-Richtung zunimmt und im zweiten Fall die Geschwindigkeitskomponente $w_y$ in positiver $x$-Richtung abnimmt. Somit können sich unterschiedliche Vorzeichen ergeben. Häufig wird die Gleichung demnach auch in einer anderen Konstellation angegeben, wie z.B.

$\frac{\partial w_x}{\partial y} - \frac{\partial w_y}{\partial x}$.

Da die Vorzeichen aber innerhalb der Gleichung berücksichtigt werden, ist die Konstellation unerheblich.

Wirbelfrei / Rotationsfrei

Wie bereits im Abschnitt Potentialströmungen angesprochen, sind diese wirbelfrei bzw. rotationsfrei. Es ist häufig der Fall, dass der Nachweis der Wirbelfreiheit für eine Potentialfunktion oder auch Stromfunktion erbracht werden soll. Hierfür gilt:

Herleitung der Wirbelstärke

Aus dem $\nabla$-Operator und dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{w}$ wird das Kreuzprodukt gebildet.

$\text{rot} \; \vec{w} = \nabla \; X \; \vec{w} =  \begin{bmatrix} \frac{\partial w_z}{\partial y} - \frac{\partial w_x}{\partial z} \\ \frac{\partial w_x}{\partial z} - \frac{\partial w_z}{\partial x} \\  \frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y} \end{bmatrix} $

Für ein zweidimensionales Problem in der $x,y$-Ebene (mit z = 0) ergibt sich dann:

Ein Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld), dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei bzw. rotationsfrei. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient der Potentialfunktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.

Der Gradient bestimmt sich zu:

$\text{grad} \Phi (x,y,z) = \nabla \cdot \Phi (x,y,z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\  \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix}  \cdot \Phi (x,y,z) =  \begin{bmatrix} \frac{\partial \Phi (x,y,z)}{\partial x} \\ \frac{\partial \Phi (x,y,z}{\partial y} \\  \frac{\partial \Phi (x,y,z}{\partial z} \end{bmatrix}$.

Für ein zweidimensionales Problem in der $x,y$-Ebene ergibt sich dann:

$\text{grad} \Phi (x,y) = \nabla \cdot \Phi (x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}  \end{bmatrix}  \cdot \Phi (x,y) =  \begin{bmatrix} \frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial y}  \end{bmatrix}$.

Beispiel: Rotationsfreiheit, Gradient

Zunächst erfolgt der Nachweis der Potentialfunktion über die Rotationsfreiheit. Es gilt für ein zweidimensionales Problem:

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y} = 0$

Zunächst müssen die Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden. Aus der Potentialfunktion berechnen sich die Geschwindigkeitskomponenten wie folgt:

$w_x = \frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial x} = 1 + 2x$

$w_y = \frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial y} = -2y$

Das Geschwindigkeitsfeld ist also wie folgt $\vec{w} = (1 + 2x, \; -2y)$.

Es kann nun die obige Formel angewandt werden (Ableitung von $w_x$ nach $y$ und $w_y$ nach $x$):

$\frac{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y} = 0 + 0 = 0$.

Es liegt also eine Rotationsfreiheit vor und damit ist die Potentialfunktion nachgewiesen worden.

Es wird nun der Gradient der Funktion gebildet:

$\text{grad} \Psi (x,y) = \nabla \cdot \Psi (x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \Psi (x,y)}{\partial x} \\ \frac{\partial \Psi (x,y)}{\partial y}  \end{bmatrix}$.

Es wird also einmal die Potentialfunktion nach $x$ und einmal nach $y$ abgeleitet:

$\text{grad} \Psi (x,y) = (1 + 2x, \; -2y)$

Das Geschwindigkeitsfeld (mit den beiden Komponenten $w_x$ und $w_y$) ist bereits oben bestimmt worden und entspricht:

$\vec{w} = (1 + 2x, \; -2y)$.

Der Gradient der Potentialfunktion ist also genau das Geschwindigkeitsfeld.