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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Gradient einfach berechnen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gradient einfach berechnen

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Der Gradient $ \text{grad} \ f (\vec{x}_0) $ ist ein Vektor der Funktion $\ f $, welcher senkrecht auf der Niveaulinie $\ f (x,y) = f (x_0,y_0) $ steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient $ \text{-grad} \ f (\vec{x}_0) $ in die Richtung der minimalen Steigung.

Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also

$\ \text{grad} f (x,y) = (f_x (x,y),f_y (x,y))$. 

Beispiel

Bestimme den Gradienten der Funktion $\ f (x,y) = x^2 \cdot y^2$ an der Stelle $ (1 \ , \ 1) $ sowie an der Stelle $ (1,2) $.

Zuerst bildet man die partiellen Ableitungen nach x und y:

$\ f_x = 2xy^2$

$\ f_y = x^22y$

Anschließend erzeugt man daraus die gesuchten Gradienten an den ausgewählten Stellen

$\ \text{grad} \ f (1,1) = (2 \ , \ 2)$

$\ \text{grad} \ f (1,2) = ( 2 \cdot 1 \cdot 2^2 \ , \ 1^2 \cdot 2 \cdot 2) = (8 \ , \ 4) $

Grafische Darstellung und Erläuterung

Der Gradient im Punkt $(1 \ , \ 1)$ ist $(2 \ , \ 2)$ und im Punkt $(1 \ , \ 2)$ ist $(8 \ , \ 4)$. Wie bereits in den Abschnitten über Tangenvektoren und Normalenvektoren, beginnt der Gradient im Ursprung und zeigt auf den Punkt $(2 \ , \ 2)$ bzw. $(8 \ , \ 4)$. Die Gradienten haben die Länge:

$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2,83$

$\sqrt{8^2 + 4^2} = 8,94$

Die Gradienten müssen parallel zu sich selbst in die jeweiligen Punkte verschoben werden. Der Gradient im Punkt $(1 \ , \ 1)$ zeigt dann auf $(1 \ , \ 1) + (2 \ , \ 2) = (3 \ , \ 3)$, der Gradient im Punkt  $(1 \ , \ 2)$ zeigt auf $(1 \ , \ 2) + (8 \ , \ 4) = (9 \ , \ 6)$. Die Gradientenvektoren zeigen in Richtung des steilsten Anstiegs in diesem Punkt. Man kann sich nun also vorstellen, dass dort wo der Gradient hinzeigt, die Funktion sehr steil ansteigt. In der nachfolgenden Grafik wurde dies versucht anhand der Niveaulinien (in grün) darzustellen. Diese werden mit zunehmender Höhe der Funktion immer heller.

Gradienten
Gradienten

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.

Bewegung auf dem Gradientenvektor

Um die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:

$ \text{grad} \ f (x,y) \cdot \frac{1}{\text{Länge}}$

$(2 \ , \ 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = (0,71 \ , \ 0,71)$

Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt $(1 \ , \ 1)$ führt uns dann zum nächsten Punkt $(1,71 \ , \ 1,71)$.

etc.

Bewegung auf dem Gradienten
Bewegung auf dem Gradienten

Video: Gradient einfach berechnen