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Strömungslehre - Potentialfunktion

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Strömungslehre

Potentialfunktion

Handelt es sich um drehungsfreie bzw. wirbelfreie Strömungen, so liegen Potentialströmungen vor. Für die Potentialströmungen kann analog zur Stromfunktion auch eine Potentialfunktion $\Phi (x,y,z)$ eingeführt werden. Im Weiteren folgt die Betrachtung von ebenen (also zweidimensionalen) Potentialströmungen mit der Potentialfunktion $\Phi (x,y)$.

Zur Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Potentialfunktion gilt:

Methode

$w_x = \frac{\partial \Phi}{\partial x}$

$w_y = \frac{\partial \Phi}{\partial y}$

Die Kontinuitätsgleichung kann dann wie folgt formuliert werden:

Methode

$\frac{\partial w_x}{\partial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} = 0$.

Vergleicht man nun die Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Potentialfunktion mit der Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Stromfunktion, so sieht man deutlich, dass:

$w_x = \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$,

$w_y = \frac{\partial \Phi}{\partial y} = - \frac{\partial \Psi}{\partial x}$.

Hierbei handelt es sich um die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen.

Aus diesem Zusammenhang lässt sich schließen, dass die Stromlinien und Potentiallinien (Linien konstanter Potentialfunktion) senkrecht (also im 90°-Winkel) aufeinander stehen. Es handelt sich hierbei um ein orthogonales Gitternetz.

Potentiallinien / Orthogonales Gitternetz

Die Potentiallinien stehen senkrecht auf den Stromlinien. Linien mit konstanter Stromfunktion $\Psi (x,y) = const$ werden Stromlinien genannt (siehe Abschnitte: Stromlinien und Stromfunktion). Linien mit konstanter Potentialfunktion $\Phi (x,y) = const$ werden als Potentiallinien bezeichnet.

Das orthogonale (auch: rechtwinklige) Gitternetz ergibt sich also durch Einzeichnung der Strom- und Potentiallinien.

Anwendungsbeispiel: Potentialfunktion und Stromfunktion

Beispiel

Es sei die Stromfunktion $\Psi (x,y) = x^2 - y^2$ gegeben.

(a) Wie lautet die dazugehörige Potentialfunktion?

(b) Zeichnen Sie die Potential- und Stromlinien!

(a) Potentialfunktion

Die dazugehörige Potentialfunktion kann bestimmt werden, indem zunächst die Geschwindigkeitskomponenten aus der Stromfunktion $\Psi (x,y)$ bestimmt werden:

 $w_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y} = -2y$,

$w_y = - \frac{\partial \Psi}{\partial x} = -2x$    (Minuszeichen nicht vergessen)

Für die Potentialfunktion $\Phi (x,y)$ gilt:

$w_x = \frac{\partial \Phi}{\partial x} = -2y$

$w_y = \frac{\partial \Phi}{\partial y} = -2x$

Auflösen nach $\Phi$ ergibt:

$\Phi = \int w_x \; dx = \int -2y \; dx = -2y \cdot x + C(y)$

Bei der Integration nach $x$ (durch $dx$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(y)$ nicht von $x$ abhängig.

$\Phi = \int w_y \; dy = \int -2x \; dy = -2x \cdot y + C(x)$

Bei der Integration nach $y$ (durch $dy$ gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante $C(x)$ nicht von $y$ abhängig.

Die Integrationskonstanten spielen hier physikalisch keine Rolle, weshalb diese gleich null gesetzt werden können. 

Die dazugehörige Potentialfunktion lautet demnach:

$\Phi (x,y) = -2xy$.

(b) Grafik: Stromlinien und Potentiallinien

Setzt man nun $\Phi (x,y) = const$, so kann man die Potentiallinien ermitteln. Diese stellen in diesem Beispiel Hyperbeln dar. Die Stromlinien für $\Psi (x,y) = const$ stehen senkrecht auf diesen Potentiallinien. In der nachfolgenden Grafik sind für unterschiedliche Konstanten der Potentialfunktionen die Potentiallinien eingezeichnet:

Potentialfunktion Potentiallinien

In der obigen Grafik ist ganz deutlich zu erkennen, dass in den vier Quadranten des $x,y$-Koordinatensystems die Potentiallinien Hyperbeln darstellen. Dabei befinden sich die Potentiallinien mit positiven Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = + const$ in dem Quadranten 1 und 3, die Potentiallinien mit negativen Konstanten der Potentialfunktion $\Phi (x,y) = - const$ in den Quadranten 2 und 4.

In der nächsten Grafik sind die Stromlinien für unterschiedliche konstante Werte der Stromfunktion eingezeichnet:

Stromlinien

Die Zusammenfassung der Potentiallinien und Stromlinien in einem Koordinatensystem ergibt dann das orthogonale Gitternetz. Die Potentiallinien stehen also senkrecht auf den Stromlinien (und umgekehrt):

Potentiallinien und Stromlinien