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Strömungslehre

Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)

Die laminare Strömung ist nur abhängig von der Reynolds-Zahl, die Rohrreibungszahl $\lambda$ kann demnach mittels einer einfachen Formel exakt berechnet werden (siehe vorheriger Abschnitt). Bei turbulenten Strömungen hingegen muss zusätzlich zu der Reynolds-Zahl $Re$ noch die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ berücksichtigt werden, um die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmen zu können. Zur Berechnung von $\lambda$ gibt es für die turbulente Strömung sehr gute Näherungsformeln (siehe Abschnitt Moody-Diagramm). Mithilfe des Moody-Diagramms, welches diese Näherungsformeln abbildet, kann dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden. 

Der Druckverlust bei turbulenter Strömung kennzeichnet sich durch:

  • Steigerung des Druckverlustes mit zunehmender (relativer) Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$,
  • Proportionalität zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit,
  • Umgekehrte Proportionalität zum Rohrdurchmesser.

Merke

Eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit bewirkt also im turbulenten Fall eine viel höhere Zunahme des Druckverlustes, als im laminaren Fall. Die Verringerung des Druckverlustes durch Erweiterung des Rohrquerschnittes wirkt sich im turbulenten Fall weniger stark aus.

Eine turbulente Strömung liegt dann vor, wenn die berechnete Reynolds-Zahl $Re$ oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$ liegt. Im Weiteren wird von der folgenden kritischen Reynolds-Zahl ausgegangen:

Methode

$Re_{krit} = 2.300$

Beispiel: Druckverluste bei turbulenten Strömungen

Beispiel turbulente Strömung Druckverlust

Beispiel

Gegeben sei die obige Skizze. An einem großen Becken $A_1 >> d$ ist eine $L = 20 m$ lange Rohrleitung (glatter Stahl) angeschlossen, die zu einem kleineren Becken führt. Mit dieser Rohrleitung soll Wasser befördert werden. Die Daten sind wie folgt:

$d = 0,5 m$ / $h_1 = 5m$ / $h_2 = 8m$ / $h_3 = 2m$ / $p_b = 101.000 Pa$ / $\eta_E = 0,5$ / $\eta_A = 1,0$ / $\eta_{kr(1)} = 0,14$ / $\eta_{kr(2)} = 0,21$ / $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$ / $\dot{V} = 710 \frac{m^3}{h}$ / $\nu = 1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$ / $k = 0,1 mm$ .

Wie hoch ist der Druck $p_1$?

Im Folgenden wird mit der Bernoullischen Höhengleichung von 1 nach 2 gerechnet (man kann auch die anderen Gleichungen verwenden):

 $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}} + \lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g} $.

Die Verluste werden immer am Strömungsende (hier: 2) berücksichtigt und dann auch mit diesem Index versehen.

Als nächstes werden die Werte eingesetzt. Zunächst einmal gilt $w_1 \approx 0$, da $A_1 >> d$ und damit senkt sich der Wasserspiegel so langsam, dass man die Geschwindigkeit $w_1$ gleich null setzen kann.

Außerdem gilt für den Druck $p_2 = p_b + \rho \cdot g \cdot h_3$. Da der rechte Behälter offen ist, wirkt auf das Wasser der Umgebungsdruck $p_b$. Außerdem muss noch der hydrostatische Druck des Wassers $p(h) = \rho \; g \; h$ berücksichtigt werden, um den gesamten Druck zu bestimmen.

Es gilt außerdem $z_1 = h_1$ und $z_2 = h_2$. Einsetzen aller Werte ergibt:

 $\small{5 m  + \frac{p_1}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} =  8 m + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 m}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + (0,5 + 1,0 + 0,14 + 0,21) \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} + \lambda \frac{20 m}{0,5 m} \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.


Aufgelöst nach $p_1$ ergibt:

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; w_2^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + \lambda \frac{20m}{0,5m} \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Es müssen noch die Geschwindigkeit $w_2$ und die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit kann mittels des Volumenstroms $\dot{V}$ bestimmt werden, denn es gilt:

$w \cdot A = \dot{V}$.


Umgestellt nach $w = w_2$ ergibt sich dann:

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A}$.


Die Fläche des Rohrs (kreisförmig) wird berechnet mit:

$A = \pi \cdot r^2$  oder  $A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$.

Der Volumenstrom muss noch in die Einheit $\frac{m^3}{s}$ umgerechnet werden, wobei gilt $1h = 3.600s$:

$\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$w_2 = \frac{\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}}{\frac{\pi \cdot (0,5m)^2}{4}} = 1 \frac{m}{s}$.

Als nächstes muss noch die Rohrreibungszahl $\lambda$ für die streckenabhängigen Verluste bestimmt werden.

Rohrreibungszahl bestimmen

Zunächst muss geprüft werden, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Bei der laminaren Strömung kann man die Formel $\lambda = \frac{64}{Re}$ verwenden. Bei einer turbulenten Strömung muss hingegen das Moody-Diagramm herangezogen werden.

$Re =  \frac{w_2 \cdot d}{\nu} = \frac{1 \frac{m}{s} \cdot 0,5m}{1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 500.000 $


Die kritische Reynolds-Zahl wurde festgelegt auf $Re_{krit} = 2.300$. Die berechnete Reynolds-Zahl liegt oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl, weshalb eine turbulente Strömung vorliegt. $\lambda$ muss also aus dem Moody-Diagramm bestimmt werden. Dafür wird die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ zusätzlich benötigt (Umrechnung der Einheit für den Durchmesser in mm nicht vergessen):

$\frac{k}{d} = \frac{0,1 mm}{500 mm} = 0,0002 = 2 \cdot 10^{-4}$.


Es muss nun das Moody-Diagramm herangezogen werden. Dabei geht man wie folgt vor:

Man betrachtet zunächst die $x$-Achse ($Re = 500.000 = 5 \cdot 10^5$) und geht solange senkrecht nach oben, bis man die Kurve für $\frac{k}{d} = 2 \cdot 10^{-4}$ schneidet. Auf der linken $y$-Achse liest man dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ ab. Das Ganze wird nochmals anhand des Moody-Diagramms veranschaulicht (grüne Linien):

Moody-Diagramm turbulente Strömung Beispiel

Es ergibt sich eine Rohrreibungszahl von $\lambda \approx 0,015 $.

Es kann nun der Druck $p_1$ berechnet werden.

Berechnung des Drucks

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; (1 \frac{m}{s})^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + 0,015 \frac{20m}{0,5m} \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

$p_1 = 151.773 Pa$.