ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Strömungslehre
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Hydrodynamik > Reibungsbehaftete Strömungen > Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen:

Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Die laminare Strömung ist nur abhängig von der Reynolds-Zahl, die Rohrreibungszahl $\lambda$ kann demnach mittels einer einfachen Formel exakt berechnet werden (siehe vorherigen Abschnitt). Bei turbulenten Strömungen hingegen muss zusätzlich zu der Reynolds-Zahl $Re$ noch die Wandrauhigkeit $\frac{k}{d}$ berücksichtigt werden, um die Rohreibungszahl $\lambda$ bestimmen zu können. Zur Berechnung von $\lambda$ gibt es für die turbulente Strömung sehr gute Näherungsformeln (siehe Abschnitt Moody-Diagramm). Mithilfe des Moody-Diagramms, welches diese Näherungsformeln abbildet, kann dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden. 

Der Druckverlust bei turbulenter Strömung kennzeichnet sich durch:

  • Steigerung des Druckverlustes mit zunehmener (relativer) Wandrauhigkeit $\frac{k}{d}$
  • Proportionalität zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit
  • Umgekehrte Proportionalität zum Rohrdurchmessers

Merke

Eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit bewirkt also im turbulenten Fall eine viel höhere Zunahme des Druckverlustes, als im laminaren. Die Verringerung des Druckverlustes durch Erweiterung des Rohrquerschnittes wirkt sich im turbulenten Fall weniger stark aus.

Eine turbulente Strömung liegt dann vor, wenn die berechnete Reynolds-Zahl $Re$ oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$ liegt. Im Weiteren wird von der folgenden kritischen Reynolds-Zahl ausgegangen:

Methode

$Re_{krit} = 2.300$

Anwendungsbeispiel: Druckverluste bei turbulenten Strömungen

Beispiel turbulente Strömung Druckverlust

Beispiel

Gegeben sei die obige Skizze. An einem großen Becken $A_1 >> d$ ist eine $L = 20 m$ lange Rohrleitung (glatter Stahl) angeschlossen, die zu einem kleineren Becken führt. Mit dieser Rohrleitung soll Wasser befördert werden. Die Daten sind wie folgt:

$d = 0,5 m$ / $h_1 = 5m$ / $h_2 = 8m$ / $h_3 = 2m$ / $p_b = 101.000 Pa$ / $\eta_E = 0,5$ / $\eta_A = 1,0$ / $\eta_{kr(1)} = 0,14$ / $\eta_{kr(2)} = 0,21$ / $\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$ / $\dot{V} = 710 \frac{m^3}{h}$ / $\nu = 1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$ / $k = 0,1 mm$ .

Wie hoch ist der Druck $p_1$?

Im Folgenden wird mit der Bernoullischen Höhengleichung von 1 nach 2 gerechnet (man kann auch die anderen Gleichungen verwenden):

 $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}} + \lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g} $.

Die Verluste werden immer am Strömungsende (hier: 2) berücksichtigt und dann auch mit diesem Index versehen.

Als nächstes werden die Werte eingesetzt. Zunächst einmal gilt $w_1 \approx 0$, da $A_1 >> d$ und damit senkt sich der Wasserspiegel so langsam, dass man die Geschwindigkeit $w_1$ gleich Null setzen kann.

Außerdem gilt für den Druck $p_2 = p_b + \rho \cdot g \cdot h_3$. Da der rechte Behälter offen ist wirkt auf das Wasser der Umgebungsdruck $p_b$. Außerdem muss noch der hydrostatische Druck des Wasser $p(h) = \rho \; g \; h$ berücksichtigt werden um den gesamten Druck zu bestimmen.

Es gilt außerdem $z_1 = h_1$ und $z_2 = h_2$. Einsetzen aller Werte ergibt:

 $\small{5 m  + \frac{p_1}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} =  8 m + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 m}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + (0,5 + 1,0 + 0,14 + 0,21) \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} + \lambda \frac{20 m}{0,5 m} \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.


Aufgelöst nach $p_1$ ergibt:

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; w_2^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + \lambda \frac{20m}{0,5m} \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Es müssen noch die Geschwindigkeit $w_2$ und die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit kann mittels des Volumenstroms $\dot{V}$ bestimmt werden, denn es gilt:

$w \cdot A = \dot{V}$.


Umgestellt nach $w = w_2$ ergibt sich dann:

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A}$.


Die Fläche des Rohrs (kreisförmig) wird berechnet mit:

$A = \pi \cdot r^2$  oder  $A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$.

Der Volumenstrom muss noch in die Einheit $\frac{m^3}{s}$ umgerechnet werden, wobei gilt  $1h = 3.600s$:

$\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$w_2 = \frac{\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}}{\frac{\pi \cdot (0,5m)^2}{4}} = 1 \frac{m}{s}$.

Als nächstes muss noch die Rohrreibungszahl $\lambda$ für die streckenabhängigen Verluste bestimmt werden.

Rohrreibungszahl bestimmen

Zunächst muss geprüft werden, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Bei der laminaren Strömung kann man die Formel $\lambda = \frac{64}{Re}$ verwenden. Bei einer turbulenten Strömung muss hingegen das Moody-Diagramm herangezogen werden.

$Re =  \frac{w_2 \cdot d}{\nu} = \frac{1 \frac{m}{s} \cdot 0,5m}{1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 500.000 $


Die kritische Reynolds-Zahl wurde festgelegt auf $Re_{krit} = 2.300$. Die berechnete Reynolds-Zahl liegt oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl, weshalb eine turbulente Strömung vorliegt. $\lambda$ muss also aus dem Moody-Diagramm bestimmt werden. Dafür wird die Wandrauhigkeit $\frac{k}{d}$ zusätzlich benötigt (Umrechnung der Einheit für den Durchmesser in mm nicht vergessen):

$\frac{k}{d} = \frac{0,1 mm}{500 mm} = 0,0002 = 2 \cdot 10^{-4}$.


Es muss nun das Moody-Diagramm herangezogen werden. Dabei geht man wie folgt vor:

Man betrachtet zunächst die $x$-Achse ($Re = 500.000 = 5 \cdot 10^5$) und geht solange senkrecht nach oben, bis man die Kurve für $\frac{k}{d} = 2 \cdot 10^{-4}$ schneidet. Auf der linken $y$-Achse liest man dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ ab. Das Ganze wird nochmals anhand des Moody-Diagramms veranschaulicht (grüne Linien):

Moody-Diagramm turbulente Strömung Beispiel

Es ergibt sich eine Rohrreibungszahl von $\lambda \approx 0,015 $.

Es kann nun der Druck $p_1$ berechnet werden.

Berechnung des Drucks

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; (1 \frac{m}{s})^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + 0,015 \frac{20m}{0,5m} \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

$p_1 = 151.773 Pa$.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt) ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Strömungslehre.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses StrömungslehreStrömungslehre
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Strömungslehre

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Strömungslehre
    • Einleitung zu Kurs: Strömungslehre
  • Grundlagen der Strömungslehre
    • Einleitung zu Grundlagen der Strömungslehre
    • Aggregatzustände
    • Dichte
    • Kompressibilität
    • Viskosität
    • Ideales Fluid
    • Reales Fluid
  • Hydrostatik
    • Einleitung zu Hydrostatik
    • Fluidspannungen
    • Hydrostatischer Druck
      • Einleitung zu Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: U-Rohr-Manometer
      • Beispiel: Hydrostatischer Bodendruck bei unterschiedlichen Querschnitten
    • Hydrostatisches Paradoxon
    • Hydrostatische Auftriebskraft
    • Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Einleitung zu Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Vertikalkraft
      • Horizontalkraft
      • Resultierende und Wirkungslinie
      • Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände
    • Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf eben geneigte nicht rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
    • Geschichtete Fluide
  • Kinematik einer Strömung
    • Stationäre und instationäre Strömungen
    • Bahnkurven und Stromlinien
    • Lagrange-/Euler-Darstellung
    • Stromfaden und Stromröhre
  • Hydrodynamik
    • Einleitung zu Hydrodynamik
    • Reibungsfreie Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsfreie Strömungen
      • Stromfadentheorie (eindimesionale Strömung)
      • Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)
      • Bernoullische Energiegleichung (stationär)
      • Spezialfälle der Bernoullischen Energiegleichung
    • Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einzelverluste (turbulente Strömungen)
      • Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Einleitung zu Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Kinematische Zähigkeit
        • Äquivalente Sandrauhigkeit
        • Moody-Diagramm
      • Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Einleitung zu Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Laminare Strömung (kreisförmiger Querschnitt)
        • Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)
        • Strömungen nicht-kreisförmiger Querschnitte
        • Iterative Bestimmung der Rohrreibungszahl Lambda
    • Rohrleitungen mit Pumpen
      • Einleitung zu Rohrleitungen mit Pumpen
      • Pumpen bei reibungsfreien Strömungen
      • Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen
  • Impulssatz und Drallsatz
    • Einleitung zu Impulssatz und Drallsatz
    • Impulssatz
      • Einleitung zu Impulssatz
      • Stützkraftkonzept
      • Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung
    • Drallsatz (Impulsmomentensatz)
  • Ebene Strömungen
    • Einleitung zu Ebene Strömungen
    • Wiederholung: Stromlinienkonzept
    • Stromfunktion
      • Einleitung zu Stromfunktion
      • Beispiel: Stromfunktion
    • Potentialfunktion
    • Quelle und Senke (Divergenz)
    • Wirbelstärke
  • 61
  • 9
  • 58
  • 135
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Strömungslehre

    Ein Kursnutzer am 17.03.2016:
    "Optimal bis jetzt :)"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen