Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)

Die laminare Strömung ist nur abhängig von der Reynolds-Zahl, die Rohrreibungszahl $\lambda$ kann demnach mittels einer einfachen Formel exakt berechnet werden (siehe vorheriger Abschnitt). Bei turbulenten Strömungen hingegen muss zusätzlich zu der Reynolds-Zahl $Re$ noch die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ berücksichtigt werden, um die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmen zu können. Zur Berechnung von $\lambda$ gibt es für die turbulente Strömung sehr gute Näherungsformeln (siehe Abschnitt Moody-Diagramm). Mithilfe des Moody-Diagramms, welches diese Näherungsformeln abbildet, kann dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden. 

Der Druckverlust bei turbulenter Strömung kennzeichnet sich durch:

• Steigerung des Druckverlustes mit zunehmender (relativer) Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$,
• Proportionalität zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit,
• Umgekehrte Proportionalität zum Rohrdurchmesser.

Eine turbulente Strömung liegt dann vor, wenn die berechnete Reynolds-Zahl $Re$ oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$ liegt. Im Weiteren wird von der folgenden kritischen Reynolds-Zahl ausgegangen:

Beispiel: Druckverluste bei turbulenten Strömungen

Im Folgenden wird mit der Bernoullischen Höhengleichung von 1 nach 2 gerechnet (man kann auch die anderen Gleichungen verwenden):

 $\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho} + \xi \frac{w_2^2}{2 \; g}} + \lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g} $.

Die Verluste werden immer am Strömungsende (hier: 2) berücksichtigt und dann auch mit diesem Index versehen.

Als nächstes werden die Werte eingesetzt. Zunächst einmal gilt $w_1 \approx 0$, da $A_1 >> d$ und damit senkt sich der Wasserspiegel so langsam, dass man die Geschwindigkeit $w_1$ gleich null setzen kann.

Außerdem gilt für den Druck $p_2 = p_b + \rho \cdot g \cdot h_3$. Da der rechte Behälter offen ist, wirkt auf das Wasser der Umgebungsdruck $p_b$. Außerdem muss noch der hydrostatische Druck des Wassers $p(h) = \rho \; g \; h$ berücksichtigt werden, um den gesamten Druck zu bestimmen.

Es gilt außerdem $z_1 = h_1$ und $z_2 = h_2$. Einsetzen aller Werte ergibt:

 $\small{5 m  + \frac{p_1}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} =  8 m + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{9,81 \frac{m}{s^2}}  + \frac{101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 m}{9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}} + (0,5 + 1,0 + 0,14 + 0,21) \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}} + \lambda \frac{20 m}{0,5 m} \frac{w_2^2}{2 \cdot 9,81 \frac{m}{s^2}}}$.

Aufgelöst nach $p_1$ ergibt:

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; w_2^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + \lambda \frac{20m}{0,5m} \frac{w_2^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

Es müssen noch die Geschwindigkeit $w_2$ und die Rohrreibungszahl $\lambda$ bestimmt werden.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit kann mittels des Volumenstroms $\dot{V}$ bestimmt werden, denn es gilt:

$w \cdot A = \dot{V}$.

Umgestellt nach $w = w_2$ ergibt sich dann:

$w_2 = \frac{\dot{V}}{A}$.

Die Fläche des Rohrs (kreisförmig) wird berechnet mit:

$A = \pi \cdot r^2$  oder  $A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$.

Der Volumenstrom muss noch in die Einheit $\frac{m^3}{s}$ umgerechnet werden, wobei gilt $1h = 3.600s$:

$\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}$.

Einsetzen der Werte ergibt:

$w_2 = \frac{\frac{710}{3.600} \frac{m^3}{s}}{\frac{\pi \cdot (0,5m)^2}{4}} = 1 \frac{m}{s}$.

Als nächstes muss noch die Rohrreibungszahl $\lambda$ für die streckenabhängigen Verluste bestimmt werden.

Rohrreibungszahl bestimmen

Zunächst muss geprüft werden, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Bei der laminaren Strömung kann man die Formel $\lambda = \frac{64}{Re}$ verwenden. Bei einer turbulenten Strömung muss hingegen das Moody-Diagramm herangezogen werden.

$Re =  \frac{w_2 \cdot d}{\nu} = \frac{1 \frac{m}{s} \cdot 0,5m}{1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 500.000 $

Die kritische Reynolds-Zahl wurde festgelegt auf $Re_{krit} = 2.300$. Die berechnete Reynolds-Zahl liegt oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl, weshalb eine turbulente Strömung vorliegt. $\lambda$ muss also aus dem Moody-Diagramm bestimmt werden. Dafür wird die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ zusätzlich benötigt (Umrechnung der Einheit für den Durchmesser in mm nicht vergessen):

$\frac{k}{d} = \frac{0,1 mm}{500 mm} = 0,0002 = 2 \cdot 10^{-4}$.

Es muss nun das Moody-Diagramm herangezogen werden. Dabei geht man wie folgt vor:

Man betrachtet zunächst die $x$-Achse ($Re = 500.000 = 5 \cdot 10^5$) und geht solange senkrecht nach oben, bis man die Kurve für $\frac{k}{d} = 2 \cdot 10^{-4}$ schneidet. Auf der linken $y$-Achse liest man dann die Rohrreibungszahl $\lambda$ ab. Das Ganze wird nochmals anhand des Moody-Diagramms veranschaulicht (grüne Linien):

Es ergibt sich eine Rohrreibungszahl von $\lambda \approx 0,015 $.

Es kann nun der Druck $p_1$ berechnet werden.

Berechnung des Drucks

$p_1 = 3 m \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + \frac{1}{2} \; (1 \frac{m}{s})^2 \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} + 101.000 Pa + 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2m + 1,85 \cdot \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}  + 0,015 \frac{20m}{0,5m} \frac{(1 \frac{m}{s})^2}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}$

$p_1 = 151.773 Pa$.