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Strömungslehre - Moody-Diagramm

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Strömungslehre

Moody-Diagramm

In diesem Abschnitt wird das Moody-Diagramm eingeführt, um zu zeigen wie man die Rohrreibungszahl $\lambda$ aus diesem Diagramm ablesen kann. Im vorherigen Abschnitt wurde die Rohrreibungszahl $\lambda$ eingeführt. Diese wird benötigt, wenn ein Fluid durch ein Rohr strömt. Innerhalb dieser Rohrreibungszahl werden die Eigenschaften des Fluids (kinematische Zähigkeit) und die Rohrbeschaffenheit (äquivalente Sandrauigkeit) berücksichtigt. Zur besseren Übersicht hier noch einmal die gesamte Formel für streckenabhängige Verluste anhand der Bernoullischen Höhengleichung:

Methode

$h_{sv} = \lambda \frac{L}{d} \frac{w^2}{2 \; g}$   Höhenverlust (für Höhengleichung)

Berücksichtigt werden diese Verluste auf der rechten Seite (Strömungsende) der Bernoullischen Gleichung. Für eine Strömung innerhalb eines Rohres, welche von 1 nach 2 fließt, gilt dann:

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho}} + \large{\lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Hier sind die Einzelverluste nicht mit berücksichtigt, welche aufgrund von Rohrkrümmern, Abzweigungen etc. zusätzlich zu den streckenabhängigen Verlusten anfallen. Mit zusätzlicher Berücksichtigung der Einzelverluste sieht die Gleichung dann wie folgt aus:

$\small{z_1 + \frac{1}{2} \; \frac{w_1^2}{g}  + \frac{p_1}{g \; \rho} =  z_2 + \frac{1}{2} \; \frac{w_2^2}{g}  + \frac{p_2}{g \; \rho}} + \large{ \xi \frac{w_2^2}{2 \; g} + \lambda \frac{L}{d} \frac{w_2^2}{2 \; g}}$.

Moody-Diagramm

Um nun die Rohreibungszahl $\lambda$ zu bestimmen, muss zunächst die Reynolds-Zahl bestimmt werden:

Methode

$Re = \frac{w \cdot d}{\nu_k}$

mit

$w$  mittlere Strömungsgeschwindigkeit

$d$   hydraulischer Durchmesser des Rohrs

$\nu_k$  kinematische Zähigkeit (Viskosität)

Die Bestimmung der Reynolds-Zahl erfolgt aus den gegebenen Werten der Aufgabenstellungen. Hat man die Reynolds-Zahl berechnet, so muss zusätzlich dazu noch der folgende Term bestimmt werden:

Methode

$\frac{k}{d}$

mit

$k$  äquivalente Sandrauigkeit

$d$   Rohrdurchmesser

Auch diesen Term bestimmt man aus den gegebenen Werten der Aufgabenstellung (Beispiele folgen in den weiteren Abschnitten). 

Diese beiden resultierenden Werte können dann herangezogen werden, um aus dem Moody-Diagramm die Rohrreibungszahl $\lambda$ abzulesen. Die Reynolds-Zahl $Re$ befindet sich auf der $x$-Achse, die Rauigkeit $\frac{k}{d}$ auf der rechten $y$-Achse und die Rohrreibungszahl $\lambda$ auf der linken $y$-Achse.

Moody-Diagramm
Moody-Diagramm

Die einzelnen Bereiche des obigen Diagramms werden abgedeckt vom

- laminaren Bereich,

- kritischen Bereich,

- turbulenten Bereich.

Laminarer Bereich

Der laminare Bereich gilt für $Re < 2.000$ bis $Re < 4.000$. Abhängig ist das von der festgelegten kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$. Diese Festlegung ist unterschiedlich und sollte in der Vorlesung oder in der Prüfung vorgegeben sein. Häufig fällt der kritische Bereich weg und in dem Moody-Diagramm existiert nur ein Trennwert, welcher den Übergang von der laminaren zur turbulenten Strömung kennzeichnet. Dieser Trennwert $Re_{krit}$ wird dann herangezogen, um eine Strömung als laminar oder turbulent zu kennzeichnen. Liegt die berechnete Reynolds-Zahl $Re$ dann unterhalb des kritischen Wertes $Re_{krit}$, dann liegt eine laminare Strömung vor. In diesem Fall kann die Rohrreibungszahl $\lambda$ direkt berechnet werden, ohne dass das Moody-Diagramm herangezogen werden muss. Die Formel hierfür ist:

Methode

$\lambda = \frac{64}{Re}$.               Laminare Strömung für $Re < Re_{krit}$

Es ist also wichtig zunächst die Reynolds-Zahl zu berechnen, damit bestimmt werden kann, ob es sich um eine laminare Strömung $Re < Re_{krit}$ oder um eine turbulente Strömung $Re > Re_{krit}$ handelt. Ist ersteres gegeben, so kann einfach die obige Formel angewandt werden. Ist letzteres gegeben, so muss das Moody-Diagramm herangezogen werden.

Kritischer Bereich

Der kritische Bereich kennzeichnet ganz einfach den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung (Bereich $2.000 < Re < 4.000$). Das bedeutet also, dass der kritische Wert bzw. die kritische Reynolds-Zahl innerhalb des kritischen Bereichs liegt. In der Literatur findet sich häufig ein Wert von $Re_{krit} = 2.320$. Das bedeutet also, dass eine laminare Strömung bei $Re < 2.320$ vorliegt und eine turbulente Strömung bei $Re > 2.320$. Die kritische Reynolds-Zahl ist wichtig für die Berechnung der Rohrreibungszahl $\lambda$. Es ist also unbedingt darauf zu achten mit welcher kritischen Reynolds-Zahl in ihrem Fall gerechnet wird. Ergibt sich eine laminare Strömung ($Re < Re_{krit}$), dann berechnet sich die Rohrreibungszahl $\lambda$ nach obiger Formel. Ergibt sich hingegen eine turbulente Strömung ($Re > Re_{krit}$), dann kann man $\lambda$ aus dem Moody-Diagramm ablesen. Allerdings müssen hier unterschiedliche Bereiche betrachtet werden.

Turbulenter Bereich

Der turbulente Bereich wird untergliedert für 

- hydraulisch glatte Rohre,

- hydraulisch raue Rohre 

- und den Übergang von hydraulisch glatten zu hydraulisch rauen Rohren.

Hydraulisch glatte Rohre

In der obigen Grafik ist der hydraulisch glatte Bereich unter der Kurve, bei welcher $\frac{k}{d} = 0$ ist. Man spricht von hydraulisch glatten Rohren, wenn die laminare Grenzschicht alle Oberflächenunebenheiten abdeckt, so dass keine Spitze in den turbulenten Strömungsbereich ragt. In diesem Bereich hängt die Rohrreibungszahl $\lambda$ nur von der Reynolds-Zahl $Re$ ab, d.h. die Rohrreibungszahl ist unabhängig von der Rauigkeit. Es gilt das folgende empirische Gesetz nach Prandtl:

Methode

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \frac{Re \sqrt{\lambda}}{2,51}$

Anstelle der Formel kann man den Wert für $\lambda$ ganz einfach aus dem Moody-Diagramm bestimmen. Da $\lambda = f(Re)$, also nur abhängig von der Reynolds-Zahl ist, kann man in der unteren Grafik ganz einfach die Rohrreibungszahl bestimmen, indem man von der $x$-Achse aus senkrecht solange nach oben geht, bis man die unterste Kurve erreicht hat. Man kann dann waagerecht die Rohrreibungszahl $\lambda$ ablesen.

Hydraulisch raue Rohre

Bei zunehmender Geschwindigkeit wird die laminare Grenzschicht immer dünner, so dass vereinzelt Unebenheiten schon in den turbulenten Bereich hineinragen. Hat die Geschwindigkeit je nach Wandrauigkeit einen bestimmten Wert erreicht, so dass alle Unebenheiten in den turbulenten Bereich hineinragen, dann spricht man von hydraulisch rauen Rohren. Ab diesem Punkt hängt die Rohrreibungszahl $\lambda$ nur von der Rauigkeit $\frac{k}{d}$ ab. In der obigen Grafik ist der hydraulisch raue Bereich oberhalb der Grenzkurve gegeben. Es gilt das folgende empirische Gesetz nach Nikuradse:

Methode

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2,0 \cdot \log \cdot 3,71 \frac{d}{k}$

Anstelle der Formel kann man den Wert für $\lambda$ ganz einfach aus dem Moody-Diagramm bestimmen. Da $\lambda = f(\frac{k}{d})$, also nur abhängig von der Rohrrauigkeit ist, kann man in der unteren Grafik ganz einfach die Rohrreibungszahl bestimmen, indem man von der rechten $y$-Achse aus waagerecht solange nach links geht, bis man die linke $y$-Achse erreicht hat und $\lambda$ ablesen kann.

Übergangsgebiet

Das gesamte Gebiet zwischen hydraulisch glatt und hydraulisch rau bezeichnet man als Übergangsgebiet. Bei diesem Übergangsgebiet hängt die Rohrreibungszahl $\lambda$ sowohl von der Reynolds-Zahl $Re$ als auch von der Rauigkeit $\frac{k}{d}$ ab. Es gilt das folgende empirische Gesetz nach Colebrook:

Methode

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2,0 \cdot \log [\frac{2,51}{Re \sqrt{\lambda}} + \frac{k}{d \cdot 3,71}]$

Anstelle der Formel kann man den Wert für $\lambda$ ganz einfach aus dem Moody-Diagramm bestimmen. Da $\lambda = f(Re, \frac{k}{d})$, also abhängig von der Reynolds-Zahl $Re$ und von der Rohrrauigkeit $\frac{k}{d}$ ist, kann man in der Grafik ganz einfach die Rohrreibungszahl bestimmen, indem man von der $x$-Achse aus solange senkrecht nach oben geht, bis man die Kurve erreicht hat, die der Rauigkeit $\frac{k}{d}$ entspricht. Von diesem Punkt aus geht man dann waagerecht zur linken $y$-Achse.

Merke

Die angegebenen Formeln können für computergestütze Berechnungen verwendet werden. Für Klausuraufgaben wird zur Bestimmung der Rohrreibungszahl das Moody-Diagramm verwendet, in welchem die obigen Formeln grafisch ausgewertet worden sind.

Anwendungsbeispiel: Ablesen von Lambda aus dem Moody-Diagramm

Es soll im Folgenden gezeigt werden, wie man für die unterschiedlichen Bereiche die Rohrreibungszahl $\lambda$ ablesen kann. Die kritische Reynolds-Zahl soll in diesem Beispiel $Re_{krit} = 2.300$ betragen. Dazu wurde in der nachfolgenden Grafik der kritische Bereich weggelassen und nur die Trenngrenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung bei $Re = 2.300$ eingezeichnet:

Moody-Diagramm Beispiel

Beispiel

$Re = 800$ und $\frac{k}{d} = 10^{-3}$

Da es sich hierbei um eine Reynolds-Zahl unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl $Re_{krit}$ handelt und somit:

$Re < Re_{krit}$,

liegt eine laminare Strömung vor und $\lambda$ kann direkt mittels der folgenden Formel bestimmt werden:

$\lambda = \frac{64}{Re} = \frac{64}{800} = 0,08$.

Man kann natürlich auch das Moody-Diagramm heranziehen. Man muss dann von der $x$-Achse bei 800 (in der obigen Grafik ist es der Wert 8, da $8 \cdot 10^2 = 800$) abtragen und dann senkrecht bis zur roten Linie abmessen. Das Ganze ist in der unteren Grafik durch die grünen Linien veranschaulicht.

Moody Diagramm Beispiel laminar

Beispiel

$Re = 10.000$ und $\frac{k}{d} = 10^{-3}$

Da $Re > Re_{krit}$, handelt es sich um eine turbulente Strömung. Bei der turbulenten Strömung geht man zunächst so vor, dass man $Re$ auf der $x$-Achse abträgt und $\frac{k}{d}$ auf der rechten $y$-Achse. Dabei muss man der Kurve von $\frac{k}{d}$ folgen. Das Ganze wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Moody-Diagramm turbulent Übergangsgebiet

Wenn man $Re$ und $\frac{k}{d}$ abträgt, so sieht man deutlich, dass sich der Schnittpunkt innerhalb des Übergangsgebietes befindet und die Rohrreibungszahl von beiden abhängt. Der Wert beträgt $\lambda = 0,033$.

Beispiel

$Re = 2.000.000$ und $\frac{k}{d} = 2 \cdot 10^{-3}$

Es handelt sich hier wieder um eine turbulente Strömung. Trägt man nun die beiden Werte ab, so sieht man ganz deutlich, dass sich der Schnittpunkt oberhalb der Grenzkurve befindet. Das bedeutet also im hydraulisch rauen Bereich. Die Rohrreibungszahl ist hier $\lambda = 0,024$.

Moody-Diagramm hydraulisch rauh

Die Rohrreibungszahl hängt nun nur noch von der Rauigkeit $\frac{k}{d}$ ab. Das kann man sich auch ganz deutlich machen, weil in diesem Bereich die Kurven eine Gerade darstellen, d.h. unabhängig von $Re$ sind. Wären z.B. $Re = 4.000.000$ gegeben ($\frac{k}{d}$ bleibt konstant), so würde sich genau derselbe Wert ergeben.

Beispiel

$Re = 80.000$ und $\frac{k}{d} = 0$

Es handelt sich um eine turbulente Strömung, da $Re > Re_{krit}$. Die Rauigkeit ist null. Es muss also die unterste Kurve betrachtet werden. Es handelt sich um ein hydraulisch glattes Rohr. Die Rohrreibungszahl ist gleich $\lambda = 0,019$.

Moody-Diagramm hydraulisch glatt

In den folgenden Abschnitten sollen nun die streckenabhängigen Verluste anhand von Rohren mit kreisförmigen und nicht-kreisförmigen Querschnitten bestimmt werden. Hierbei wird das Moody-Diagramm genutzt, um die Rohrreibungszahl $\lambda$ zu bestimmen.