Spezialfälle der Bernoullischen Energiegleichung

Horizontale Rohrleitung

Handelt es sich um eine horizontale Rohrleitung, so existiert kein Höhenunterschied zwischen dem Eintrittsquerschnitt und dem Austrittsquerschnitt, damit wird $z = 0$. Es ergeben sich damit die folgenden bernoullischen Energiegleichungen.

Höhengleichung bei horizontaler Rohrleitung:

Energiegleichung bei horizontaler Rohrleitung:

Druckgleichung bei horizontaler Rohrleitung:

Beispiel:

Bei der horizontalen Rohrleitung ist die Höhe von Einlass und Auslass zum Bezugsniveau gleich, d.h. $z_1 = z_2$. Das eingesetzt in die Gleichung von Bernoulli von $1$ nach $2$ ergibt:

$ g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho}$.

Gesetz von Torricelli

Ein weiterer Spezialfall stellt das Gesetz von Torricelli dar. Dieses wurde - 100 Jahre vor Bernoulli - von dem Schüler Evangelista Torricelli (einem Schüler von Galileo Galileis) entdeckt. Es besagt, dass die Strömungsgeschwindigkeit $w$ einer Flüssigkeit, die aus einem Ausgangsquerschnitt (z.B. einem Hahn) austritt, genauso groß ist wie die eines Körpers der aus derselben Höhe nach unten fällt. Hierzu betrachtet man die Bernoullische Energiegleichung für zwei Punkte (1 und 2) laut Grafik:

$ g \; z_1 + \frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  g \; z_2 + \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho}$.

Da der Behälterquerschnitt $A_1$ als sehr groß angenommen wird, kann man für die Geschwindigkeit $w_1 \approx 0$ annehmen (der Flüssigkeitsspiegel sinkt so langsam, dass man die Geschwindigkeit vernachlässigen kann). Außerdem sollen der Behälter (1) und der Hahn (2) offen sein, also mit der Umgebung verbunden, so dass die Drücke dem Atmosphärendruck entsprechen ($p_1 = p_2 = p_{atmos}$). Somit vereinfacht sich die Gleichung zu:

 $ g \; z_1  + \frac{p_{atmos}}{\rho} =  g \; z_2  +\frac{1}{2} \; w_2^2 + \frac{p_{atmos}}{\rho}$.

Der Höhenunterschied $z_1 - z_2$ ist derjenige, aus welcher die Flüssigkeit herabfällt. Diese fällt also von Punkt $1$ bis zu Punkt $2$ herab. Dies entspricht (wenn der Behälterquerschnitt sehr viel größer ausfällt als das Rohr und die Drücke dem Umgebungsdruck entsprechen) der Geschwindigkeit eines Körpers, welcher genau aus dieser Höhe herabfällt (gleiche Formel). Als Folgerung ergibt sich, dass die Dichte der Flüssigkeit unerheblich ist. Sowohl Wasser als auch Quecksilber fließen unter diesen Bedingungen mit derselben Geschwindigkeit aus dem Rohr heraus.

Beispiel 1: Gesetz von Torricelli

Berechnung der Geschwindigkeit

Hier kann das Gesetz von Torricelli angewandt werden. Es gilt $A_0 >> A_2$. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit $w_0 \approx 0$ angenommen werden kann, da der Flüssigkeitsspiegel aufgrund der Größe des Behälters sehr langsam abfällt im Gegensatz zum Rohr. Außerdem ist der Behälter und auch das Rohr mit der Umgebung verbunden, das bedeutet $p_0 = p_2 = p_{atmos}$.

Es kann nun das Gesetz von Torricelli angewandt werden:

$w_2 = \sqrt{2 \; g \; (h_0 + h_1)}$  

Es muss immer der gesamte Höhenunterschied zwischen den zwei Punkten betrachtet werden.

$w_2 = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 25m} = 22,15 m/s$.

Berechnung des Drucks

Zur Berechnung des Drucks $p_1$ wird die Bernoulli-Gleichung von $0$ nach $1$ angewandt:

$z_0 + \frac{1}{2} \frac{w_0^2}{g} + \frac{p_0}{\rho \; g} = z_1 + \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{\rho \; g}$

Es gilt: $w_0 \approx 0$ , $p_0 = p_{atmos}$, $z_0 = h_0 + h_1$, $z_1 = h_1$:

$(h_0 + h_1) + \frac{p_{atmos}}{\rho \; g} = h_1 + \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{\rho \; g}$.

Einsetzen der Werte:

$25 m + \frac{101.000 Pa}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2} = 5m + \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{9,81 m/s^2} + \frac{p_1}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2}$.

Da die Geschwindigkeit $w_1$ nicht gegeben ist, muss diese noch mit der Kontinuitätsgleichung von $1$ nach $2$ berechnet werden:

$w_1 \cdot A_1 = w_2 \cdot A_2$

$w_1 = \frac{w_2 \cdot A_2}{A_1}$

Es gilt: $A_1 = A_2$:

$w_1 = w_2 = 22,15 m/s$.

Einsetzen in die Bernoulli-Gleichung:

$25 m + \frac{101.000 Pa}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2} = 5m + \frac{1}{2} \frac{22,15^2 m^2/s^2}{9,81 m/s^2} + \frac{p_1}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2}$.

Auflösen nach $p_1$:

$\small{p_1 = 101.000 Pa + 20m \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} - \frac{1}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 22,15^2 \frac{m^2}{s^2}}$.

$p_1 = 51.890,22 Pa$.

Beispiel 2: Gesetz von Torricelli

Berechnung der Geschwindigkeit

Die Aufgabenstellung ist dieselbe wie oben, nur dass jetzt der Behälter mit dem Rohr anders aussieht. Die Frage stellt sich, ob die Geschwindigkeit beim Auslass (Punkt 2) größer oder kleiner ist als oben berechnet. Hierzu verwendet man wieder das Gesetz von Torricelli, wobei $z_1 - z_2$ den Höhenunterschied zwischen diesen Punkten darstellt bzw. die Höhe bei der die Flüssigkeit frei herabfällt. In der obigen Grafik ist dies die Höhe $h_0$:

$w_2 = \sqrt{2 \; g \; h_0} = \sqrt{2 \cdot 9,81 m/s^2 \cdot 20m} = 19,81 m/s$ .

Die Geschwindigkeit ist geringer. Der Grund liegt darin, dass das Wasser nur mit der Höhe $h_0$ frei herabfällt. In dem obigen Beispiel ist die Flüssigkeit mit der Höhe $h_0 + h_1$ frei herabgefallen.

Berechnung des Drucks

Die Berechnung des Drucks $p_1$ erfolgt wieder über die Bernoulli-Gleichung von $0$ nach $1$:

$z_0 + \frac{1}{2} \frac{w_0^2}{g} + \frac{p_0}{\rho \; g} = z_1 + \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{\rho \; g}$

Da $A_0 >> A_1$, gilt wieder $w_0 \approx 0$. Außerdem ist der Druck am Punkt $0$ gleich dem Umgebungsdruck $p_0 = p_{atmos}$. Es gilt zudem $z_0 = h_0$ und $z_1 = 0$, da der Punkt $1$ bereits auf dem Bezugsniveau liegt.

$h_0 + \frac{1}{2} \frac{0}{g} + \frac{p_{atmos}}{\rho \; g} = 0 + \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{g} + \frac{p_1}{\rho \; g}$

$20 m + \frac{101.000 Pa}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2} = \frac{1}{2} \frac{w_1^2}{9,81 m/s^2} + \frac{p_1}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2}$.

Es existieren wieder zwei Unbekannte $w_1$ und $p_1$. Zur Ermittlung von $w_1$ kann die Kontinuitätsgleichung herangezogen werden:

$A_1 \cdot w_1 = A_2 \cdot w_2$

$w_1 = \frac{A_2 \cdot w_2}{A_1}$    Es gilt: $A_2 = A_1$

$w_1 = w_2 = 19,81 m/s$.

$20 m + \frac{101.000 Pa}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2} = \frac{1}{2} \frac{19,81^2 m^2/s^2}{9,81 m/s^2} + \frac{p_1}{999,97 kg/m^3 \cdot 9,81 m/s^2}$.

Auflösen nach $p_1$:

$\small{p_1 = 101.000 Pa + 20 m \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} - \frac{1}{2} \cdot 19,81^2 \frac{m^2}{s^2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3}}$.

$p_1 = 101 kPa$.

Der Druck $p_1$ ist gleich dem Umgebungsdruck $p_{atmos}$.

Beispiel 3: Horizontale Rohrleitung

Da es sich um ein horizontales Rohr handelt, existiert bei beiden Punkten der gleiche Abstand zum Bezugsniveau. In diesem Fall ist der Abstand $z_1 = z_2 = 0$. Man kann also die folgende Formel verwenden:

$\frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  \frac{1}{2} \; w_2^2  + \frac{p_2}{\rho}$.

Zudem ist die Geschwindigkeit $w_2$ im Punkt $2$ gleich null, da die Strömung hier vollständig zur Ruhe kommt. 

Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

$\frac{1}{2} \; w_1^2  + \frac{p_1}{\rho} =  \frac{p_2}{\rho}$.

Umgestellt nach $p_2$ ergibt sich dann:

$p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot w_1^2$

Einsetzen der Werte ergibt:

$p_2 = 78.000 Pa + \frac{1}{2} \cdot 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 10^2 \frac{m^2}{s^2} = 127.998,50 Pa$.